Линейные дифференциальные матричные уравнения второго порядка с аналитическими коэффициентами

• Автор: Сороговец, Иван Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новополоцк
• Количество страниц: 108 c. : ил

ГЛАВА I. Особые точки линейных однородных дифференциальных матричных уравнений второго порядка §1.1. Основные обозначения и сокращения §1.2. Структура решений в окрестности особой точки

§1.3. Регулярная особая точка

§1.4. Линейные дифференциальные матричные уравнения второго порядка с иррегулярной особой точкой
Глава II. Матричные аналоги дифференциального гяпергеометрического уравнения §2.1. Вывод системы определяющих уравнений §2.2. Необходимые и достаточные условия разрешимости системы определяющих уравнений §2.3. Матричное гипергеометрическое уравнение с различными собственными числами главных матриц
§2.4. Системы дифференциальных уравнений, связанные с представлениями группы Глава III. Построение и исследование решений матричных гипергеометрических уравнений §3.1. Матричные аналоги гипергеометрических рядов §3.2. "Ортогональные" системы матриц §3.3. Дифференциальные операторы, порожденные
матричными гипергеометрическими выражениями §3.4. Матричные многочлены, связанные с представлениями группы ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДШИЕ
В диссертации рассматриваются системы ft линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами. Основное внимание уделено системам класса Фукса с тремя особыми точками, которые линейным преобразованием приводятся к матричным аналогам дифференциального гипергеометрического уравнения. Собственные функции дифференциального оператора, порожденного матричным гипергеометрическим выражением и естественными граничными условиями, являются матричными многочленами, сходными по свойствам с классическими ортогональными многочленами Якоби. Они образуют, в определенном смысле, ортогональную замкнутую систему матриц. Полученные результаты дают возможность исследования матричных элементов неприводимых унитарных представлений групп вращений евклидовых и псевдоевклидовых пространств методами теории дифференциальных уравнений.
Линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с аналитическими коэффициентами и связанным с ними специальным функциям в скалярном случае посвящено огромное количество исследований. Это связано, в первую очередь, с тем, что специальные функции широко применяются при решении задач из различных областей естествознания: теории колебаний, теории упругости, теории теплопроводности, электродинамики, газовой динамики, теории дифракции, квантовой механики и др. Чаще всего они возникают при решении уравнений с частными производными методами разделения переменных [27,33, 46, 48, 52, 57, 61, 64, 74, 76-78, 79, 81, 84] .
К теории специальных функций обращались крупнейшие математики прошлого: П.Л. Чебышев, А.М. Лежандр, Ф.В. Бессель, Б. Ри-ман, К. Гаусс и многие другие. Исследования продолжаются и по

сей день. Библиография в этой области анализа настолько обширна, что перечислить все исследования практически невозможно. Укажем лишь монографии [7-9, 15, 33, 35, 46-48, 52, 61, 64, 74, 76-81, 83, 84], изданные на русском языке и содержащие основные сведения по специальным функциям и их приложениям. Наиболее полным по охвату материала можно считать трехтомник Г. Бейтмена и А. Эрдейи "Высшие трансцендентные функции".
Кроме специальных функций, ставших уже классическими, появились и интенсивно изучаются их различные обобщения: гипергео-метрические функции нескольких переменных [104, 105] , бесселевы и гипергеометрические функции матричного аргумента [96, ЮЗ] , специальные матричнозначные функции [Ю6, НО*]
При исследовании специальных функций появилось большое количество методов и различных частных приемов. Развитие теории представлений групп за последние десятилетия дало возможность охватить теорию многих классов специальных функций с единой точки зрения. Теоретико-групповой трактовке поддается гипергео-метрическая функция и ее различные частные и вырожденные случаи: функции Бесселя, функции Лежандра, ортогональные многочлены Якоби, Чебышева, Лагерра, Эрмита.
Связь между специальными функциями и представлениями групп была впервые открыта Э. Картаном [92} . Построение теории многочленов Лежандра на базе теории представлений групп дано И.М. Гельфандом и З.Я. Шапиро [26, 27] . В этих же работах введены и изучены функции /^(х), близкие к многочленам Якоби.
Теоретико-групповое истолкование функций Лежандра дано Баргманом ( Вах^/ПОШП- V, ) [ 9з]
Н.Я. Виленкиным получена теоретико-групповая трактовка ги-пергеометрической функции и функций Уиттекера [ 20-22] . Построение некоторых разделов теории бесселевых функций с помощью

ваний запишутся в виде
^ *ию-гг-1 ~ -2(а'<-1^-2)(о(г>-1^-/))*2^а))>о (г.4о)
Используя формулу (2.36), находим:
+2Ш) -1 (Я-а^Кг-аЧт+М^аУт^г-в^тх).
Подставляя в (2.40), приходим к системе неравенств
V ^т-°%)<0 (П..,пн). (2.41)

Предположим, ЧТО Ql'^{ или а(1)> 1т-I . В обоих случаях
VpiOr.jn-i!)
и система (2.41) будет вшолнена при условии, что
П(щ-а*1))-(т,-{аиЧ))<0 Vie Iо,~, m-i}.
Отсюда вытекают четыре условия выполнимости системы (2.41), которые можно разбить на две группы:
a(1,2.m-L; mL2т-1? lm-i< aa) (z)
(2.42)
(2.43)
При выполнении первых из условий (2.42) или (2.43) 2(г)>о V $<;{1 а при выполнении вторых -