Задачи усреднения в частично перфорированных областях

• Автор: Шапошникова, Татьяна Ардолионовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 262 с. : ил.

Содержание
Введение Глава 1.

Приложение Глава 2.

Усреднение краевых задач для оператора Лапласа в областях с непериодической структурой
Об усреднении задачи Дирихле в частично перфорированной области общего вида с непериодической структурой О задаче усреднения в частично перфорированной области с граничным условием смешанного типа на границе полостей, содержащим малый параметр Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с непериодической структурой
Об усреднении краевых задач для оператора Лапласа в областях, перфорированных вдоль многообразий
Усреднение задачи Дирихле для уравнений высокого порядка в частично перфорированных областях
Об усреднении задачи Дирихле для поли-гармонического уравнения в областях, перфорированных вдоль многообразий большой коразмерности
Об усреднении бигармонического уравнения в области, перфорированной вдоль многообразий малой размерности Об усреднении решений задачи Дирихле для уравнения Д3щ = / в областях, перфорированных вдоль многообразий коразмерности

Глава 3.

Список литературы
Усреднение некоторых краевых задач в перфорированных областях с периодической структурой Об усреднении оператора Лапласа в области, часть которой содержит периодически расположенные канала с условием Неймана на их границе Об усреднении решений уравнения Пуассона в перфорированной области с различным типом краевых условий на границе различных полостей

Введение
Настоящая работа посвяшена вопросам усреднения решений краевых задач в перфорированных и частично перфорированных областях с периодической и непериодической структурой. Этим вопросам посвящено большое число работ российских и зарубежных авторов (см. [1]-[9] и приведенную там библиографию). В диссертации продолжены исследования, изложенные в монографиях [1], [2]. В частности, предложены новые подходы к построению асимптотик краевых задач в перфорированных и частично перфорированных средах с непериодической структурой. Изучены задачи усреднения в таких областях с различными краевыми условиями на границе полостей. Предложенные здесь методы позволяют исследовать различные задачи усреднения в частично перфорированных областях с непериодической структурой. Также исследованы вопросы усреднения задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка в областях, перфорированных вдоль многообразий большой коразмерности. Отметим, что в случае, когда коразмерность многообразия равна 1 эта задача была исследована Марченко В.А. и Хрусловым Е.Я. (см. [1]). В случае , изученном в диссертации, предельное поведение решений, когда диаметры полостей уменьшаются, существенным образом зависит от коразмерности многообразия, порядка оператора, размерности пространства а также от того, с какой скоростью диаметры отверстий стремятся к нулю по отношению к скорости стремления к нулю расстояния между соседними отверстиями. В работе рассмотрены все возможные случаи различного качественного поведения решений задачи Дирихле, а также исследована асимптотика собственных значений соответствующих спектральных задач. Кроме того, в настоящей работе исследована задача усреднения в области, часть которой занимают периодически расположенные тонкие каналы, ось которых перпендикулярна плоскости раздела однородной и неоднородной частей. В этом случае существенную трудность составило получение правильных условий сопряжения на границе раздела двух сред для предельной задачи. Приведем некоторые результаты работы.
В §2 гл. 1 изучена задача усреднения в частично перфорированной

где а(к) = 1 при к < — 1, а(к) = 0,5(1 — к) при к £ [—1,1).
Обозначим через д£ функцию из пространства Нх(Г2, Г) такую, что де = дЕ при гбП£и
111и(п+) < Кп\Ъхд£\ьЛпП, (15)
||з£Ця1(П+) < -14||5,е|1я1(П+)- (16)
Такое продолжение существует (см. [2]).
В силу теорем вложения, неравенств (14)-(16) имеем
|1г,1Ь.() < КиС°ю. (17)
Легко видеть, что для любой функции д £ .£7]_(Л+) и е, 1 имеет место неравенство
1Ы11,(7) 1б{£/?||хА,|||3(п+) + е 1Ы1д2(п+)}> (18)
где (3 - произвольное положительное число.
Полагая в (18) д = д£, (3 = а(к) и учитывая оценку (17), получим
1Ы1х,Ы < (19)
Из неравенств (7) и (19) имеем
11*110,) < (20)
откуда и из неравенства Фридрихса (9) вытекает, что
.1Ы1 < И‘)/4. (21)
Итак, справедлива
Лемма 1. Пусть к < 1. Тогда для решения д£ задачи (5) справедливы оценки (14), (20) и (21).
Пусть уг - обобщенное решение задачи
Ау£ = /х при х £ Г2е,
-2- + в агуг = 0 на 5е, у£ = 0 на Г£, (22)

где /1 = / при х £ Г2+, /х=0 при х € П~.
Оценим Ус. Из интегрального тождества для задачи (22) получим неравенство