Задачи Коши для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений гиперболического типа

• Автор: Бежанишвили, Давид Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 72 c. : ил

ГЛАВА I. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § I. Постановка задачи Коши и теорема её локальной

разрешимости

§ 2. Вспомогательный класс функций

§ 3. Редукция задачи Коши к эквивалентной системе интегро-дифференциальных уравнений

§ 4. Теорема существования задачи Коши

ГЛАВА II. ЗАДАЧА КОШИ дМ УРАВНЕНИЯ КАРМАНА

§ 5. Постановка задачи Коши и исследование характеристических систем

§ 6. Разрешимость задачи Коши

§ 7. Примеры

ЛИТЕРАТУРА

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, а также для гиперболических и эллиптических вырождающихся уравнений возникла сравнительно недавно. Первые основополагающие работы Ф.Трикоми [В и С.Геллерстедта [2-31 появились лишь в двадцатых годах, хотя предпоссылки к этой теории были заложены ещё в середине прошлого столетия в трактате по теории поверхностей Г.Дарбу [4], а затем в начале нашего века в работах С.А.Чаплы-гина [51 и Н.Е.Жуковского [е].
Началом нового этапа в развитии уравнений смешанного типа явились работы Ф.И.Франкля М, М.А.Лаврентьева [э], М.В.Келдыша [9], А.В.Бицадзе [ю], К.И.Бабенко [и], после которых исследования в данном направлении значительно расширились, а в настоящее время развиваются все более нарастающей интенсивностью. Это обстоятельство вызвано с одной стороны большой теоретической важностью проблемы уравнений смешанного типа, а также её практическим значением, ибо теоретические модели многих физических явлений выражаются краевыми задачами для таких уравнений, как линейных, так и нелинейных.
Особенно следует отметить роль нелинейных уравнений, так как большинство прикладных задач сводятся именно к ним.
Исследования по нелинейным уравнениям смешанного типа были начаты в конце сороковых годов. Обобшая результаты 3>.И. Франкля [к] и И.С.Березина [13], Р.Конти в работе [14] впервые изучил задачу Коши для нелинейных гиперболических уравнений с параболическим вырождением на носителе начальных данных. Впоследствии в многочисленных работах (см. например [15-21]) были изучены ряд краевых задач как для вырождающихся ги-

перболических и эллиптических уравнений, так и для уравнений смешанного типа.
Как известно, изучение глобальной разрешимости задач с начальными данными для вырождающихся квазилинейных уравнений гиперболического типа, в отличии от линейных, наталкиваются на допольнительные существенные затруднения. Осложнения имеют место не только в методах решения, но и при постановках задач и, как правило, наряду с параболическим вырождением они объясняются зависимостью характеристических многообразий рассматриваемого уравнения от искомого решения.
Глобальные теоремы разрешимости как для задач с начальными данными, так и для характеристических задач получены в исследованиях А.В.Бицадзе [22-23], в которых предложены методы построения точных решений нелинейных уравнений.
Для определенных классов вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений в работах Д.К.Гвазава [24-27] рассмотрены новые видоизмененные постановки различных начальных и характеристических задач, которые представляют собой обобщения известных линейных постановок. Применением нелинейных аналогов
ставленик регулярных решений в терминах характеристических переменных, на основании которых проведено глобальное исследование поставленных задач.
Различным задачам для вырождающихся нелинейных гиперболиВ настоящей работе исследована задача Коши для специального класса гиперболических уравнений
инвариантов Римана
например получены общие предческих уравнений посвящены работы

вого порядка решения, исходное уравнение не дает возможность определения производных второго порядка.
Непосредственно можно убедится, что в любой точке плоскости вторые производные функции Ц должны удовлетворять следующим двум соотношениям
<Л^р =: хАх + ь А^ > А<^= ?>Ах + ^.А^ (2.4)
Пусть Г жорданова разомкнутая простая кривая, заданная на плоскости переменных при ^>0 параметрически

В качестве параметра возьмем длину дуги кривой Г , отсчитываемую в определенном направлении. Если вдоль этой кривой известны значения функции и и её производной по нормали первого порядка, мы сможем определить производных первого порядка Ц*-Р^>каждой точке кривой Г . Исходя отсюда, в любой точке кривой Г вторые производные от функции и.
должны удовлетворять уравнению (2.1) и соотношениям (2.4) , где являются функциями параметра X.
По определению, полученная система
?Ч =0,
х Ах + ^ А^ г А^>, (2.5)
ъ Ах л V. А^ г Ц
определит характеристику уравнения (2.1), в том случае, когда она имеет бесконечное множество решений относительно неизвестных г, «,Д. Для этого, как известно [47], определитель данной системы