Многоточечная задача для уравнения Пуассона

• Автор: Бондарева, Галина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Построение пространства И
1.1 Основные определения и теоремы, используемые в работе
1.2 Свойства гармонических функций, являющихся интерполяционными многочленами в О
1.3 Свойства функций пространства В
1.4 Некоторые свойства системы гармонических функций
2 Возмущённое уравнение Пуассона с точечными условиями
2.1 Существование решения
2.2 Непрерывная зависимость решения от скалярного параметра в правой части возмущённого уравнения Пуассона
2.3 Непрерывная зависимость решения задачи от точечных условий
2.4 Непрерывная дифференцируемость решения возмущённого уравнения Пуассона по параметру, содержащемуся
в правой части уравнения
2.5 Непрерывная дифференцируемость решения возмущённого уравнения Пуассона (точечные условия зависят от параметра)
3 Уравнение Пуассона с точечными неравенствами
3.1 Уравнение Пуассона с точечными неравенствами и решение систем линейных неравенств
3.2 Уравнение Пуассона с краевыми неравенствами
3.3 Критерий разрешимости уравнений с точечными неравенствами

3.4 Интегро-дифференциальные уравнения с точечными неравенствами
4 Восстановление факторизации по дефектным функционалам
5 Некоторые приложения теории функционально-дифференциальных уравнений к решению практических задач
Литература

Введение
Теория линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения Ьи = /, с оператором Ь : Б —> В, где В -банахово пространство, линейное многообразие Б изоморфно прямому произведению В х В"1, развивалась и изучалась в работах Пермского Семинара под руководством проф. Н. В. Азбелева [1].
В работах [2],[4],[32],[42] заложены основы теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения (ФДУ), которая появилась в результате осознания общих приёмов исследования конкретных классов уравнений. Эти приёмы сводились к выбору банахова пространства В, построению линейной инъекции А : В —* В и указанию конечномерного пространства Е} расширяющего образ ЛВ. Приложениям общей теории посвящены работы [1],[3],[19]—[22].
Каждое пространство вида Б = ЛВ 0 Е изоморфно В х К"1 и определяет свой класс уравнений. Теория абстрактного ФДУ охватывает достаточно широкий класс уравнений. Удачный выбор пространства Б позволяет для изучаемого уравнения не доказывать заново общие утверждения о замкнутости, нормальной разрешимости и нётерово-сти, а сосредоточить усилия на получении таких утверждений, которые определяются спецификой данного уравнения.
Теория абстрактного ФДУ использует операторы, определённые на произведении В х Ят (здесь В'" изоморфно Е) или действующие в такое произведение. Такие операторы порождают пару линейных операторов Л : В —> Б и К : Лто —> Б так, что
{Л, У }{*,/?} = Аг + ур, ев, (0.1)
Линейные отображения ТТдВиг:Тд Дш зададим так, что
6и = 2, г и = (5.
Тогда имеет место разложение
и = А 8и + У гм.

§2. Возмущённое уравнение Пуассона с точечными усло-
Будем называть возмущенным уравнением Пуассона с точечными условиями (многоточечной возмущённой задачей) следующую систему
где и € П, Т : Л —> В —-линейный ограниченный оператор, / € В,
1г € -К.
В настоящей главе будут рассмотрены вопросы существования и единственности решения данной задачи. В некоторых случаях решение удаётся выписать явно, в других же приводятся достаточные условия разрешимости.
§2.1. Существование решения
Пусть а односвязная ограниченная область в В,п, п > 2, с кусочногладкой границей дИ.
Интегральный оператор А : В —> С2+а(П) был определён равенством (1.1).
Будем искать решение уравнения (2.1)—(2.2) в пространстве Л функций вида (1.4).
В главе 1 были сформулированы теоремы о разрешимости интерполяционной задачи в Л, а также о представлении функций пространства Л в виде (1-4).
Для выяснения вопроса о существовании решения задачи (2.1)-(2.2) рассмотрим невозмущённое уравнение Пуассона с однородными точечными условиями
ВИЯМИ
Аи + Ти = /, t £ П,
и(и)=л, 2 = 1
(2.1)
(2.2)
Да = /.
«(£,-) = 0, г = 1
(2.3)
(2.4)