Динамически предельные множества кубических систем дифференциальных уравнений, порожденных интегралом типа Дарбу

• Автор: Лухманова, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 141 с. : ил.

Содержание:

Введение
Глава 1.0 предельных циклах кубических систем дифференциальных уравнений, порождённых интегралом типа Дарбу.
§_ 1 Необходимые и достаточные условия существования предельного цикла при к
§_2_ Необходимые и достаточные условия существования предельного цикла эллиптического типа для некоторого класса
кубических систем
$ 3 Качественное интегрирование в целом некоторого класса
кубических систем
£ 4 О некотором классе кубических систем с инвариантным
множеством гиперболического типа
£ 5 О некотором классе кубических систем с инвариантным
мнооюеством параболического типа
Глава2. О предельных циклах систем дифференциальных
гр *
уравнении из
£ 6 О существовании предельных циклов эллиптического типа

§_]_ О предельных циклах, являющихся алгебраической кривой
третьего порядка
$ 8 Состояния покоя и предельные циклы
ГлаваЗ. О бифуркациях предельных циклов систем из Еа
$ 9 Рождение предельного цикла из состояния равновесия
10 Системы с неизолированными состояниями покоя
£ 11 Кратные циклы и интегралы Дарбу
£ 12 Интегралы Дарбу и бифуркации особых циклов
Литература

Введение
Динамические системы с полиномиальными правыми частями явились объектом многочисленных исследований. Для изучения таких систем широко применяется качественная теория, возникшая в конце прошлого столетия в связи с задачами небесной механики.
А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым [48, 56, 57] сформулированы идеи, согласно которым значительную информацию о поведении траекторий динамических систем можно получить, не прибегая к интегрированию. Последующие исследователи развили эти идеи, прояснив роль особых траекторий двумерной автономной системы - положений равновесия, сепаратрис, предельных циклов, которые определяют поведение траекторий в целом. Эти результаты систематически изложены в монографиях [2, 3].
В качественной теории систем дифференциальных уравнений центральной является проблема существования, числа и взаимного расположения предельных циклов (16 -ая проблема Гильберта [55,60]). Наряду с этим много внимания уделяется изучению определённых классов уравнений, допускающих те или иные частные алгебраические интегралы (см. например, [10, 30, 31, 37, 39, 47, 51, 52, 65, 67, 68]). Так в [39, 68, 58] исследовались квадратичные системы дифференциальных уравнений, имеющие интегральные прямые. В [6] доказано, что квадратичная система, имеющая две интегральные прямые, не имеет предельных циклов. В [70] решались вопросы наличия предельных циклов кубических систем с четырьмя линейными интегралами.
Знание частных решений значительно облегчает качественное интегрирование в целом. Постановка этой задачи с одной стороны связана с работой Н.П. Еругина [33], а с другой, восходит к трудам Г. Дарбу.
В 1878 году Г. Дарбу [72] опубликовал статью, в которой рассмотрел специальное алгебраическое дифференциальное уравнение и показал, что если у последнего существует определённое число алгебраических частных интегралов, то такое уравнение имеет первый интеграл

X = Р(х, у)
у = £Кх,у)>
(II)
допускающих первый интеграл вида (I).
В работах К.С. Сибирского, М.В. Долова, [15, 16, 19, 22, 25, 59] установлено, что при наличии интеграла Дарбу система (II) имеет ряд важных свойств. Например, предельные циклы у (II) из - алгебраические; полиномы, определяющие циклы, - вещественные и входят в аналитическое выражение (I); циклы структурно устойчивы ([15]). Состояния равновесия с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения для (II) из Еа могут быть только центрами ([59,16]). При наличии интеграла типа Дарбу (I), существенно облегчается поиск и исследование состояний покоя системы (II)
Современные авторы указывают на важность глубокого изучения динамических систем класса Еа. Например, X. Жолондек [76], работая над проблемой различения центра от фокуса, полагает, что “...множество всех полиномиальных векторных полей с центром ... может быть подразделено на 3 группы: имеющие интеграл Дарбу, рационально обратимые и имеющие первый интеграл типа Дарбу - Шварца - Кристофеля” и “...любая кубическая система с центром является или рационально - обратимой, или имеет интеграл Дарбу”. Д. Шломиук [75] считает, что Жолондек выдвигает “смелые идеи и доказательства, пока понятные лишь автору” и отмечает, что помимо широко известных, появились новые приложения интегралов Дарбу к космологическим системам [73].
Таким образом, прослеживается необходимость дальнейшего изучения динамических систем из класса Еа.
([22, 25,16]).

Откуда следует, что 2 — 0 не является траекторией систем (3.7) и (3.8).
Тогда при Ле Д = — 1 граница круга Пуанкаре не является траекторией системы (2.1). Лемма доказана.
Пример полиномиальной системы с нелинейностями 3-го порядка, для которой граница круга Пуанкаре не является траекторией, см., например, в [2, стр.248].
Лемма 3.2 Если выполнены условия теоремы 3.1, то у системы (2.1) на границе круга Пуанкаре:
1) при Ые Д Ф — 1 отсутствуют состояния покоя;
2) при Ле Д = -1з рхаЪ + ДхаЪ =0 (ДаЬ+ДхаЬ=0) и
а) | а | Ф | Ъ | расположены простые состояния покоя - центр и седло;
б) а — Ъ “на концах” оси Ох (Оу) находится сложное состояние
покоя, к которому примыкают только две полутраектории системы, расположенные по разные стороны от оси Ох (Оу).
Доказательство.
Из условий леммы 3.2 следует, что система (2.1) удовлетворяет всем требованиям леммы 3.1 . Тогда граница круга Пуанкаре (обозначим
её д С) для Ле Д —1 является траекторией системы (2.1). Согласно (3.4), (3.5) траектории системы (2.1) вблизи д О описываются системами.
2 - гДД>(а +Ьи) + ДХЬ (а + Ьи)]( 1 + и2 - аг2) +
+ 2иг(а + Ьи)(а+Ьи) = Р(г,и) (3.9)
й=(а+Ьи)(а+Ьи)[(Д+Д+2)(+и2)-(Д + Д )аг2 ]=£>(*,и)>