Динамическая обратная задача для системы Максвелла: восстановление скорости в регулярной зоне

• Автор: Гласман, Александр Константинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 83 с.

Оглавление
Введение
Краткое содержание по главам
Список обозначений
I Геометрия
§1. Оптическая метрика. Эйконал
§ 2. Регулярная зона. Полугеодезические координаты
§3. Восстановление скорости по тензору /г
§4. Представление полей
§ 5. Параллельный перенос
II Изображения
§ 1. Отображение тг
§ 2. Оператор Пт
§ 3. Проектирование в пространстве соленоидальных полей
§ 4. Оператор Кальдерона
§5. Оператор Л. Уравнение Риккати
§6. Оператор Мт
§ 7. Унитарность Мт
§8. Изображения
§9. Оператор Іт [—Іго^тої;) (1Т)*
III Динамика
§1. Система Максвелла с граничным управлением. Электрическая подсистема
§2. Оператор управления
§3. Двойственная система
§ 4. Оператор реакции
§ 5. Управляемость
§6. Распространение разрывов
§ 7. Разрывы в двойственной системе
IV Обратная задача
§1. Постановка и главный результат
§ 2. Связывающая форма
§ 3. Модель
§4. Визуализация волн
§ 5. Восстановление скорости

ПРИЛОЖЕНИЕ
А Доказательство теоремы 2.1
В Доказательство теоремы 2.3
§ 1. Запись операторов в п.г.к
§2. Оператор I/ в п.г.к
§3. Вспомогательные соотношения
§4. Оператор МТЬГ(МТУ
§ 5. Завершение доказательства
С Доказательство теоремы 3.1
§ 1. Случай малых Т
§ 2. Общий случай
Б Доказательство теоремы 3.3
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Обратные задачи для систем Максвелла. Изучение обратных задач для системы Максвелла начато в классических работах А.Н.Тихонова [25, 26]. Обратные задачи геоэлектрики рассматриваются в [24]. В этой работе принята геофизическая модель, в которой поверхность Земли является плоской; в этой модели пространство И3 переменных ж = (х,Х2,хз) разбивается плоскостью хз = 0 на два полупространства
Л3 := {х 6 Л3 | х3 < 0}, Л3+ £= {х € Л3 | ж3 > 0}.
Изучается система уравнений Максвелла
Ж . <ЭН
гоШ = е— + аЕ+з, го!Е = -д—, (0.1)
в которой равенства (0.1) для векторов электрической и магнитной напряженности Е = (Е1, Е2, Е3), Н = (Н1, Н2, Нл) выполнены отдельно для точек х € Л1 иже Л[]_, а при Жз = 0 тангенциальные компоненты векторов Е, Н удовлетворяют условиям непрерывности
Е^3=_о = Е^,=+о, йф3=„о-Яф3=+о, .7 = 1,2. (0.2)
Электрическая и магнитные проницаемости е, ц, а также проводимость а предполагаются постоянными в Л1 и гладкими функциями точки ж € Л^ вплоть до границы полупространства. Электромагнитные колебания до момента Ь = 0 отсутствуют
Е = Н = 0, j = 0 при Ь < 0, (0.3)
а затем индуцируются внешним током ф носитель которого содержится в области {(ж,Ф) | жз < 0, £ > 0}.
Тангенциальные компоненты электромагнитного поля {Е3|Жз=о, Н3 |3,3=о}^=1,2, отвечающие решению системы (0.1)-(0.3), являются данными обратной задачи, которая состоит в восстановлении по ним параметров среды е, д и о.

есть унитарный оператор из 7Т на Тт. Мы называем 1Т оператором изображения:; образ у = /ту называется изображением поля у; изображение есть касательное поле на выкройке 0Т. Оператору 1Т предстоит сыграть важную роль в обратной задаче; здесь мы коротко остановимся на его интерпретации в свете Спектральной Теоремы.
Пусть
Т := {^е Ь2(Г) | g • V = 0 на Г}
есть пространство касательных полей на Г; обозначим 7+ Т П Н!(Г), 71 := {Т+У (двойственность относительно Т). Пространство Тт можно рассматривать как пространство Т-значных функций переменной т Є [0,7і]:
Дг = Т2([0,Т];Т); (2.35)
в нем имеется семейство проекторов-срезок
1 ){ 1 • 0, £<т<Т

(0 < £ < Т); оператор т := / £есть оператор умножения на независимую

переменную:
(тґ)(т) := тї(т), 0 < т < Т.
Семейство проекторов {/^} в 7Г определяет самосопряженный оператор

Лемма 2.7 Справедливы соотношения:
ІТрі = ХЧТ 1тб = т1т. (2.36)
Доказательство. Из определения оператора Пт следует равенство
ПТХ« = Л^ПГ;
вместе с соотношением (2.26) оно приводит к (2.36). Второе равенство в (2.36) следует из первого. Лемма доказана.
Таким образом, оператор 1Т играет роль спектрального преобразования Фурье, диагонализующего оператор а. Дополнительно отметим, что соответствие "поле-изображение"сохраняет гладкость: Іт[7Т П С°°(0 )] = Р7" П С°°(0Г); при этом выполняется равенство
(7Ту)|г=о = «оУа|г, (2-37)
, вытекающее из (2.27) и определения Пт.
с к0 := к|г = ^