Задачи протекания для вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих по времени областях

• Автор: Подкуйко, Максим Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Глава 1. Существование «в малом» по времени и единственность решений краевых задач для уравнений одномерного вязкого газа

§1.1. Постановка задач

§1.2. Теоремы существования решения задач «в малом» по времени

§1.3. Теоремы единственности

Глава 2. Априорные оценки и разрешимость «в целом» по времени в пространствах Соболева

§2.1. Краевая задача с однородными граничными условиями для скорости

§2.2. Задача истечения газа из области

§2.3. Задача протекания газа через область

Глава 3. Существование «в целом» по времени задач для системы уравнений Навье-Стокса в пространствах Гёльдера
§3.1. Глобальная разрешимость краевой задачи с однородными граничными условиями для скорости

§3.2. Глобальная разрешимость задачи истечения газа из области . . 95 §3.3. Глобальная разрешимость задачи протекания газа через область
Библиографический список

Полная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа или система уравнений Навье-Стокса представляет собой интересный и важный класс систем дифференциальных уравнений в частных производных [7], [33]. В теории таких систем одной из центральных является проблема однозначной разрешимости «в целом» как по времени, так и по данным (без каких-либо требований их малости).
Изучение вопросов единственности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса началось в 1959 году с работы Дж. Серрина [56]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Отметим также более раннюю статью Д. Граффи [42] о единственности классических решений для баротропного газа.
Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Нэш [53]. Он доказал существование классического решения задачи Коши «в малом» по времени. Этот результат несколько иными методами был повторен и обобщен в работах Н. Итая [43], А.И. Вольперта и С.И. Худя-ева [17].
Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В.А. Солонниковым [34] и А. Тани [58[.
Разрешимость задачи Коши для уравнений Навье-Стокса «в целом» по времени, но при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя,

Поскольку и = 0 при X = 0 и при X = s(t), то
is( 1 dt
и последнее неравенство принимает вид
s(t) s(t) s(t)
pu2dx + д2 J --u2xxdx + p,~ J u2xdx <

s{t)
< t) + 3 j (pu*ul + R2p92x + ^R2p2x92^j dx. (2.37)

Так как и = 0 при х = 0 и при х = s[t), то найдется точка rco(i) £ [0, s(t)], в которой их(х о, t) = 0. Тогда для любых точки ж £ [0, s(t)} ие> 0 имеем
s(t) s(t) s(t) s(t)
u2x(x, t) < J(ul)xdx = 2 У ^ J u2xdx + £ J u2xxdx. (2.38)
Учитывая оценки
лЦ) s(i)
dsH) о/ / n ч С f 0 . f n ,
< - / Vх+ e
s(t) s(t) s(t)
/ pu2u2dx < С max u2x(x,t) < — / л2сЬ + Ce u2xxdx,
J ' 0 0 0
лемму 2.10 и ограниченность функции p(x,t), из неравенства (2.37) получаем при соответствующем выборе г > 0 оценку (2.36).
Лемма 2.12. Для любых t £ [0, Т] справедливо неравенство
s(t) t s(t)
J р2х(х, t)dx < С + С J J ^jdxdr.
0 0 0 Доказательство. Из уравнения (1.1) имеем
(1прф + гф1пр)ж + иг = 0.
Тогда уравнение (1.2) можно записать в форме
(рм)г + (/ж2)® = -ц[(1пр)4 + д(1прД]ж -рж.