Метод задачи Коши для решения нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения для электромагнитных ТЕ- и ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью

• Автор: Зарембо, Екатерина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 109 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн,
распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью
1.1 Постановка задачи
1.2 ТМ-иоляризованные электромагнитные волны
1.3 Решение системы дифференциальных уравнений
1.4 Условия сопряжения и задача сопряжения
1.5 Существование собственных значений
1.6 Модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений
ГЛАВА 2. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТЕ-волн,
распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью
2.1 Постановка задачи
2.2 ТЕ-поляризованные электромагнитные волны
2.3 Решение системы дифференциальных уравнений
2.4 Условия сопряжения и задача сопряжения
2.5 Существование собственных значений
2.6 Модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений
ГЛАВА 3. Вычисление приближенных собственных значений
3.1 ТМ-поляризованные волны
3.1.1 Метод нахождения приближенных собственных значений
3.1.2 Керровская нелинейность
3.1.3 Нелинейность с насыщением
3.2 ТЕ-поляризованные волны
3.2.1 Метод нахождения приближенных собственных значений
3.2.2 Керровская нелинейность
3.2.3 Нелинейность с насыщением

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ
Применение эллиптических функций в задаче о распространении ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в слое с обобщенной керровской нелинейностью

ВВЕДЕНИЕ
Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются последние несколько десятилетий [1, 2, 6, 40, 44, 55, 63]. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах (интерес привлекают и изучаются, в том числе и многослойные структуры см, например, [48, 54]). Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах представляют как самостоятельный математический интерес, так и находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике [1, 2, 3, 6, 40, 50].
Задачи с правильной геометрией (плоские слои, круглые цилиндрические волноводы) привлекают внимание, как широкими практическими приложениями (см., например, [1, 3, 40]), так и возможностью получать точные решения, по крайней мере, для некоторых типов нелинейностей и некоторых типов волн (см., например, [8, 9, 10, 11, 12, 30, 31, 47, 49, 52, 57, 58, 63, 64]). С другой стороны, такие задачи являются источником новых математических результатов, поскольку многие проблемы о распространении электромагнитных волн в нелинейных средах, при строгой формулировке их как краевых задач математической физики, представляют собой нелинейные задачи (начально-краевые задачи, краевые задачи, задачи сопряжения, задачи на собственные значения [12, 63]), которые не удается решать известными методами. Вследствие этого большое значение приобретает разработка математических моделей для таких задач и методов их решения, как аналитических, так и численных.

найдена из начальных условий и условий сопряжения при х = 0. И это позволяет проводить вычисления с дисперсионным уравнением. Пусть мы не можем проинтегрировать уравнение (1.26). Поскольку значение Х(0—0) известно, то можно найти Z{0 — 0). Используя условия сопряжения в точке х = 0 мы можем вычислить значения Хо := Х(0 + 0) и := Z(0 + 0). Теперь мы можем поставить задачу Коши для уравнения (1.26) с начальным условием Хо = Х(г0) (или Z() = 2Г(Хо)). Решая эту задачу Коши, мы находим единственную функцию X = X(Z) (или Z = Х(Х)).
Теперь покажем, как найденное решение задачи Коши может быть применено для вывода дисперсионного уравнения.
Введем новые переменные: т(х) — £/ + Х2(х) и г](х) = §щт(х), откуда получаем, что X2 = т - е2, XX = (т - е/), Z2 = (т - е2)-
После перехода к новым переменным мы, естественно, считаем, что / = / (г - е/, (т - е/)) ,д = д(т-е/,(т- £/)),
Система (1.16) в новых переменных примет вид:

!Нт-є/)х
(£/ - 72 + /) + (Зт - 2е/)х
(1.27)
р/ д}[и,у)
здесь и далее
р/ _ д/(и,у)
(т_£л;р(т_<г/))' дь

12(ед + д) + 2(т - £/)(£/ - 72 + ЛІУ
2(г-є/)/'+£/ + / Тогда получим
йт I „(т ~ £/)х
(ІГ] I

(1.28)
Т (е/ - 72 + /) + (Зт - 2є/)х
Поскольку значение т0 := т(0 + 0) известно, то можно найти значение 770 := р(0 + 0). Теперь мы можем поставить задачу Коши для уравнения
(1.28) с начальным условием то = т(?7о) (или ро = г)(то))- Решая эту задачу Коши, мы находим единственную функцию т = т(ц) (или д = т?(т)).
Мы будем полагать функции / и д такими, что правая часть второго уравнения системы (1.27) положительна. На первый взгляд это условие