О предельных множествах дискретных динамических систем на разветвленных континуумах

• Автор: Махрова, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 107 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Монотонные отображения дендритов
1.1. Основные свойства монотонных отображений
1.2. Мощность множества точек ветвления и неограниченность множества периодов периодических точек
1.3. Динамика монотонных отображений
2. Кусочно монотонные отображения с замкнутым множеством периодических точек
2.1. Основные свойства кусочно монотонных отображений дендритов
2.2. Динамика кусочно монотонных отображений дендритов с замкнутым множеством периодических точек
2.3. О гомоклинических точках кусочно монотонных отображений с замкнутым множеством периодических точек
3. О центре непрерывного отображения дендрита
3.1. О структуре центра непрерывного отображения дендрита
3.2. О глубине центра непрерывного отображения дендрита
Список литературы

Введение
Актуальность темы. Общая теория динамических систем обязана своим зарождением классическим работам А. Пуанкаре [1] -[2], А. М. Ляпунова [3], Дж. Биркгофа [4]. При решении как локальных, так и глобальных задач качественной теории дифференциальных уравнений эффективно используется метод секущих поверхностей Пуанкаре-Биркгофа, в дальнейшем оформившийся в интенсивно развивающуюся теорию дискретных динамических систем. Значительный вклад в развитие теории дискретных динамических систем внесли Д. В. Аносов, С. X. Арансон, В. И. Арнольд, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, В. Ф. Лазуткин, Ю. И. Ней-марк, Р. В. Плыкин, Е. А. Сатаев, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, Л. П. Шильников, Р. Вильямс, Ш. Ньюхаус, С. Смейл и др. Метод секущих поверхностей был введен в теорию автоматического регулирования и теорию нелинейных колебаний А. А. Андроновым [5]. В частности, применение указанного метода к исследованию колебаний скрипичной струны, возбуждаемых смычком [6], гидротарана [7], двухпозиционного регулятора температуры печи [8], электромагнитного прерывателя [9], виброударника для забивки шпунта и свай [10] и др. приводит к изучению разрывного отображения прямой в прямую.
Особая роль дискретных динамических систем, заданных на

прямой, отрезке, окружности, связана не только с тем, что они возникают в прикладных задачах, но и с тем, что такие системы иллюстрируют эффекты, наблюдающиеся в системах с непрерывным временем в более высоких размерностях. Как показали результаты работ Н. Н. Леонова [11], [12], А. Н. Шарковского [13] -[17], М. И. Малкина [18], [19], Л. С. Ефремовой [20], [21], Л. Алсе-ды и Дж. Либре [22], [23], Л. Блока и М. Мисюревича [24] - [26], Л. Джонкера и Д. Рэнда [27], [28], 3. Нитецки [29], [30], М. Якобсона [31] и др. динамика систем подобного рода оказывается чрезвычайно сложной.
Естественным шагом на пути обобщения теории, относящейся к динамическим системам на отрезке и окружности, является переход к изучению дискретных динамических систем, заданных на одномерных разветвленных континуумах. В 90-х годах появилось значительное количество работ, посвященных непрерывным отображениям конечных графов и, в частности, конечных деревьев (см., например, [32] - [42]). Потребности нелинейной физики [43], коллоидной химии [44], нейрофизиологии [45], а также достижения фрактальной геометрии и комплексной динамики [46] приводят к рассмотрению дискретных динамических систем на дендритах, т. е. локально связных континуумах, не содержащих подмножеств, гомеоморфных окружности. Примером дендрита со счетным множеством точек ветвления служит бифуркационная диаграмма бифуркаций удвоения периодов при увеличении параметра Л от 1 до Л* (А* и 3,569) для отображения у = Аж(1 — ж), где х Є [0,1] [47]. Дендрит появляется и как множество Жюлиа для отображения г —» г2 + і на комплексной плоскости (і - мнимая единица) [46].

3. существуют компоненты Xi(z.)(zj), 1 < l(zj) < ordzj, такие, что
оо ordzj—
XKzj)(Zj) n {zk}k>i = 0, И и U XuZi){Zj) содержит периодиче-
j=1 l(Zj)=l
ские точки, множество (наименьших) периодов которых неогра-ничено.
В силу условия 2 и следствия 1.30 множество периодов периодических точек Zj, j > 1, ограничено. Тогда, для данного е > 0 существует 0 < 8* < £ такое, что fmi{U^{z°) П {zj}j>i) С Ue(z°), где г = 1,2,— Так как X - локально связный континуум и Xi{Zj)(zj) П {zk}k>i = 0, то lim cliamXit(zj) = 0. Следовательно, существует натуральное число jo > 1 такое, что для любого j > jo fmt(XKzj)(Zj) П Per{f)) С Ue(z°), i = 0,1,.... Поэтому выберем 0 < 8 < 8* так, чтобы Us(z°) П {z}Y*=l = 0. Тогда fmt(Us(z°) П Per(f)) С U£(z°), i = 0,1,_______ Лемма 1.35 доказана.
СЛЕДСТВИЕ 1.36. Пусть / Е М°(Х). Тогда для любой точки z° Е Per(f) и для любого е > 0 существует 0 < 6 = Ö(z°,e) < е такое, что если z Е Per(f) и d(z°,z) < б, то d(f(z°), f%(z)) < е, * = 1,2,
ЛЕММА 1.37. Пусть / Е М°(Х). Тогда для любого е > 0 существует 6 = <5(е), удовлетворяющее следующему условию: если zi,z2 ~ произвольные периодические точки такие, что d(zx,Z2) < 6, то d(f*(zi)fi(z2)) < £, для любого % > 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть е - произвольное положительное число. В силу следствия 1.36 для произвольной точки z° Е Per(f) и данного | существует 0 < <5го = S(z°, §) < § такое, что если 2 6 Per(f), и d(z°,z) < 6Zо, то d(fl(z°), fz)) < |. Пусть {Us_g_(20)}zoeper(_f) - открытое покрытие множества Per(f).