Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с двумя независимыми переменными

• Автор: Мендзив, Марьяна Вирославовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
§ 1.1. Матрицы-функции Римана первого и второго рода
§ 1.2.Разрешающий оператор задачи Коши
§ 1.3.Разрешающий оператор смешанной задачи
§ 1.4.Лемма В.П. Потапова об эрмитово-неотрицательных блок-
матрицах
Глава 2. Устойчивость решений краевых задач для гиперболических систем на плоскости. Общий случай
§ 2.1.Устойчивость решений задачи Коши
§ 2.2.Класс решений неравенства С <
§ 2.3.Устойчивость решений смешанной задачи
Глава 3. Случай периодических и почти периодических по времени коэффициентов
§ 3.1.Устойчивость решений задачи Коши. Периодический случай
§ 3.2.Устойчивость решений смешанной задачи. Периодический случай
§ 3.3.Леммы о почти-периодах
§ 3.4.Случай почти периодических коэффициентов
Литература

Введение
1. Начиная со второй половины прошлого века интенсивно развивается теория устойчивости для уравнений с частными производными.
Основы теории устойчивости для уравнений параболического типа построены в работах Т. И. Зеленяка, В. С. Белоносова, М. М. Лаврентьева (мл.), М. П. Вишневского, получены приложения этих результатов к задачам химической кинетики [1], [2], [7] - [10], [13] - [16], [32] - [34], [93], [106]. В работах П. А. Кучмента, А. И. Милославского [44], [60], [61] распространена теория мультипликаторов Флоке-Ляпунова на линейные уравнения параболического типа с периодическими по всем аргументам коэффициентами и на этой основе получены признаки устойчивости и дихотомии решений задачи Коши для уравнений этого класса.
Первые результаты по теории устойчивости для уравнений гиперболического типа получены в работах М. А. Рутмана, Р. К. Романовского [73], [76], [82] - [86], где доказаны спектральные признаки устойчивости и дихотомии решений задач Гурса и Коши для подклассов гиперболических систем с постоянными и медленно меняющимися коэффициентами. В работах Р. К. Романовского [70] - [72], [81] исследовано асимптотическое поведение — устойчивость, дихотомия, экспоненциальная расщепляемость — решений задачи Коши для гиперболических систем первого порядка с двумя независимыми переменными с гладкими коэффициентами на основе свойств фундаментальной матрицы гиперболической системы, в частности в [72] описана структура оператора монодромии гиперболической системы с периодическими по времени коэффициентами, отвечающего за устойчивость, в пространственно-

однородном случае вычислены резольвента и спектр этого оператора. В работах Н. А. Елтышевой [26], [27] установлен признак устойчивости решений смешанной задачи для автономных систем этого класса в терминах спектра неограниченного оператора. В последние годы в работах Г. Крейсса, О. Ортиза, О. Рейла, А. Ширикяна и Л. Р. Волевича, Л. Р. Волевича и С. Г. Гин-дикина и других авторов получен ряд результатов по анализу асимптотического поведения различных классов гиперболических уравнений с многими пространственными переменными [12],[17], [104], [108] - [110], [113]. В частности, в [104] исследовано асимптотическое поведение решений задачи Коши для квазилинейной гиперболической системы первого порядка с малым параметром методами теории возмущений. В [17] на основе развитого в работе аппарата энергетических оценок исследуется устойчивость и дихотомия решений смешанной задачи для классов гиперболических уравнений высокого порядка.
В выполненных в последние годы фундаментальных исследованиях М. И. Вишика, А. В. Бабина и М. И. Вишика, В. В. Чепышова и М. И. Ви-шика, В. В. Чепышова и А. Ю. Горитского по аттракторам нелинейных эволюционных уравнений [5], [47], [48], [98] - [100], [112] содержатся приложения к анализу асимптотического поведения подклассов нелинейных параболических и гиперболических уравнений. В книге К. Чиконе и Ю. Латушкина [101] исследуется асимптотическое поведение решений задачи Коши для линейных эволюционных уравнений в банаховом и гильбертовом пространстве методами теории полугрупп.
В указанных выше работах по теории устойчивости для гиперболических систем исследования проводились главным образом на основе первого метода Ляпунова. Представляет интерес распространение второго (прямого) метода

прямоугольника П0, 3“г — оператор (1.10), граничная вектор-функция ф — к на нижнем основании По, значения ф на боковых сторонах вычисляются из системы граничных интегральных уравнений (1.13).
т, Т.
?0+а “ ' “

О ат+Г о„ 1 ОСТ! - стт
Рис. 7.
В силу выбора постоянной (1.26) выходящие из точек на боковых сторонах По лучи 1к пересекают ломаную Г в точках нижнего основания (рис. 7), и система (1.13) имеет простой вид. Представим матрицы А(х), V(х, у) и вектор ф{х) в блочном виде

где диагональные блоки матриц имеют порядок Лг_ = N1 + ... + ЛГт, /V- = N — Л/+. система уравнений (1.13) для ф(0, і), ф{1,і) имеет вид (см. [18])
1 о + 1 , = Пп п12 , ф

0 _ И21 22 .
ф-{0,і) - /Ко$,т)ф-(0,т) (1т = /0(7), ф+{0,4) = Ро(і)ф-(0, і),
4М) +/Дт(г,т)ф+(1,т) гіг - /і(і),
іММ) = Рі(і)Ф+( і.і),
(1.27)