Вольтерровы операторные уравнения и их применение в теории оптимизации гиперболических систем

• Автор: Чернов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 177 с.

Введение
§1. Список основных обозначений и сокращении
§2. Общая характеристика диссертации
§3. Краткое содержание диссертации
Глава 1. ВОЛЬТЕРРОВЫ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§1. Операторы, вольтерровы относительно системы проекторов
1. Проекторы и их свойства (34). 2. Системы вольтерровскпх проекторов (35).
3. Операторный класс Е(Е0, Л, АГ, Е) (38).
§2. Случай идеальных пространств
1. Проекторы (42). 2. Достаточные условия принадлежности операторов
классу ¥{1{0,Я,Е) = ¥{110,1,Я,Е) (43).
§3. Вольтерровость и признаки квазинильпотентности линейных ограниченных
операторов
1. Результаты П.П.ЗабренрЬ/('47):;-2?;-'Формула для спектрального радиуса и цепочечный признак квазинильпотентности л.о.о. в б.п. (49). 3. Признаки квазинильпотентности л.о.о. в б.и.п. (52). 4. Случай пространств Ьр. Примеры (56). 5. Некоторые замечания (57).
§4. Признак устойчивости существования глобальных решений (у.с.г.р.) операторного уравнения второго рода общего вида
1. Предварительные соглашения (57). 2. Локальная теорема существования (58). 3. Оценка разности решений (59). 4. Продолжение решений (61). 5. Общий признак сохранения разрешимости (63). 6. Теорема единственности (66).
7. Признак у.с.г.р. (67).
§5. Некоторые следствия абстрактного признака у.с.г.р
1. Случай Е е ¥ш{й,Я,Е,Ё) (68). 2. Случай Е <Е ¥МЬ(<1,ЛГ, Е, Ё) (71).
§6. Уравнения в идеальных пространствах измеримых функций
1. Уравнение вида г/(1) = 0(1) + А[/(.,т/(.),«(.))](<), ( 6 П (74). 2. Уравнение вида г(1) = /(£, А[г](£),«(£)), £ £ П (75). 3. Случай варьируемого оператора А (76).
§7. Операторные уравнения с дифференцируемой правой частью
1. Свойства вольтерровскпх проекторов дифференцируемого оператора (78).
2. Локальные аналоги класса Е(Е0, Е, А7, Е) (79). 3. Варианты абстрактного признака у.с.г.р. (80). 4. Вариант теоремы о неявной функции (82). 5. Вариант теоремы единственности (85). 6. Формула для приращения решения (85).
Глава 2. УПРАВЛЯЕМЫЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§1. Некоторые краевые задачи для уравнения гш4г(4) = д(4,х(4),:с{1(4),а;£2(4),и(4))

1. Предварительные замечания (89). 2. Задача Коши: управление правой частью уравнения и начальными функциями (89). 3. Задача Коши: управление кривой начальных данных (91). 4. Задача Коши-Гурса: управление правой частью уравнения и начальными функциями (92).
§2. Задача Гурса для некоторых гиперболических уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами
1. Уравнение — ж"2(2 = д(4,ж(4), х'(4),ж[з(4),«(*)), £ £ II (94). 2. Уравнение х”Ч2 - 42а;"2(2 = р(<, ®(*),(4), (£),«(*)), 4 £ П (97).
§3. Смешанная задача для гиперболического уравнения 2-го порядка общего вида

1. Постановка задачи (98). 2. Признаки у.с.г.р. (102). 3. Вспомогательные утверждения (103). 4. Эквивалентные операторные уравнения (104). 5. Доказательства признаков у.с.г.р. (105).
§4. Задача Коши для системы гиперболических уравнений первого порядка. Управление старшими коэффициентами
1. Предварительные соглашения (106). 2. Формулировка основного результата (110). 3. Свойства характеристик (110). 4. Определение и свойства решения (115). 5. Специальные функциональные пространства (117). 6. Расширение семейства характеристик (121). 7. Расширение области определенности (125).
8. Возвращение к исходной задаче (129).
Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 133.
§1. Сингулярные (в смысле Ж.-Л. Лионса) оптимизационные задачи
1. Предварительные соглашения (133). 2. Оптимизационная задача для гиперболического уравнения (133). 3. Преодоление сингулярности управляемой краевой задачи для параболического уравнения (137).
§2. Принцип максимума в задаче управления старшими коэффициентами системы
гиперболических уравнений 1-го порядка
1. Предварительные соглашения (139). 2. Формулировка принципа максимума (140). 3. Схема доказательства принципа максимума (141). 4. Формула для приращения функционала по фазовой переменной (142). 5. Проверка первой группы априорных условий (148). 6. Проверка второй группы априорных условий (149). 7. Уточнение формулы п.4. (155). 8. Формула для полного приращения функционала (157). 9. Доказательство принципа максимума (160).
ДОПОЛНЕНИЕ
§1. Некоторые свойства измеримых функций, связанные с заменой переменных161.
§2. О пространствах С.Л.Соболева-Л.П.Слободецкого
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
§1. Список основных обозначений и сокращений
т.к. - так как;
т.е. - то есть;
т.о. - таким образом;
п.в. - почти все, почти всюду;
л.п. - линейное пространство;
л.и.п. - линейное нормированное пространство;
б.п. - банахово пространство;
б.и.п. - банахово идеальное пространство;
л.о. - линейный оператор;
л.о.о. - линейный ограниченный оператор;
н.к.з. - начально-краевая задача;
у.с.г.р. - устойчивость существования глобальных решений; н.у.о. - необходимые условия оптимальности;
о.у. - оптимальное управление;
= - ’’равно по определению”, ’’равно по обозначению”;
= - ’’тождественно равно”;
0 - пустое множество;
N - множество всех натуральных чисел;
И - множество всех действительных чисел;
Я+ - множество всех неотрицательных действительных чисел;
{х £ X | Р} - совокупность элементов множества X, обладающих свойством X х У - декартово произведение множеств X и У;
Л"1 - тп—мерное пространство векторов-столбцов
х = со1 {ац}™ 1 = со1 {Ж1
хт )
действительными элементами;
0т - нуль пространства Кт; д т
(х,у)т = 2 Х(У{ - евклидово скалярное произведение в 11т (х, у 6 К" *
Мт /(х>У)т ' евклидова норма в Ит {х 6 1*™);
|*| = 1*1.1 + + |*т| (* € Ыт);

X - внутренность множества X в евклидовом пространстве;
X - замыкание множества X в евклидовом пространстве;

2) PiP(ji) = Pi(Pj — Pi) = PiPj — PiPi — Pi — Pi = 0, и аналогично, P(ji)Pi = 0.
I -> (1),(3) ' ’
T.o., получаем (6). Лемма доказана.
2. Системы вольтерровских проекторов. Пусть Е - б.п., R > 1, I: Е —► Е
- тождественный оператор, P{R,E)={P : Е -* Е | Р - проектор, ||P||b_b < Д}.
Замечание 1. Случай Д £ [0,1) не интересен. Действительно, если Р : Е —* Е
- проектор, то в силу (1) имеем: ||Р||в_в = ||РР||в-,в < ||Р||в-.в ||Р||е—в, откуда получаем, что ||Р||я_в > 1, либо Р — 0.
Определение 3. Проектор Р Е Р(R,E) назовем волътерровским проектором оператора F : Е —> Е, если
PF = PFP. (7)
Определим семейство B{F, R) ={Р Е Р{R, Е) |PF = PFP}.
Докажем некоторые свойства вольтерровских проекторов.
Лемма 8. Пусть F : Е —> Е - л.о., Р = I — Р. Тогда
Р eB(F,R) & FP = PFP. (8)
Доказательство. Рассмотрим
FP = {Р + P)FP = PFP + PFP = PFPP + PFP, (9)
PP = P{I-P) = P-PP = P-P = 0. (10)
Т.к. F - л.о., to F0 = 0. Из (9),(10) получаем (8). Лемма доказана.
Лемма 9. Пусть F : Е —» Е - линейный оператор. Тогда VP £ B(F,R) проектор Р определяет инвариантное подпространство РЕ оператора F.
Доказательство. В силу лемм 5,3 образ РЕ есть замкнутое подпространство
б.п. Е. Докажем его инвариантность относительно оператора F. Выберем произвольно х £ РЕ и докажем, что Fx = PFx. В силу лемм 5,1 имеем: х — Рх. Тогда с учетом леммы 8 получаем: Fx = FPx =PFPx = PFx, т.е. Fx 6 PE. В силу произвольности выбора х G РЕ заключаем отсюда, что F : РЕ —> РЕ. Это и означает инвариантность указанного подпространства. Лемма доказана.
Лемма 10. Р G B(F,R) тогда и только тогда, когда
Ух,у G Е, таких, что Рх = Ру, имеем: PFx — PFy, Р £ Р(R,E). (11)
Доказательство. 1) Необходимость. Итак, пусть Р £ B(F,R). Тогда Ух,у £ Е : Рх = Ру = z имеем: P(Fx — Fy) = PFPx — PFPy = PFz — PFz = 0, и в силу линейности Р получаем (11).
2) Достаточность. Пусть выполнено (11). Выберем любое z £ Е и рассмотрим х = Pz, у = z. Очевидно, что Рх = Pz — Ру. Тогда в силу (И) имеем: