Исследование аттракторов для некоторых уравнений неньютоновой гидродинамики

• Автор: Кондратьев, Станислав Константинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 139 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Аттракторы модели движения слабоконцентрированных водных растворов полимеров

1.1 Уравнения движения

1.2 Элементы теории аттракторов траекторных пространств

1.3 Функциональные пространства и обозначения

1.4 Постановка задачи и основные результаты

1.5 Свойства операторов

1.6 Априорные оценки

1.7 Существование решений

1.8 Пространство траекторий и аттракторы

1.9 Сходимость аттракторов
1.10 Сходимость аттракторов аппроксимаций
2 Аттракторы слабых решений регуляризованной системы уравнений движения жидких сред с памятью
2.1 Система уравнений движения жидких сред с памятью
2.2 Основные результаты
2.3 Вспомогательные утверждения: свойства используемых операторов и оценка решений
2.4 Пространство траекторий задачи (2.1.1)—(2.1.2)

3 Визуализация аттракторов возмущений течения Пуазёйля для среды Джеффриса
3.1 Общий подход к визуализации аттракторов
3.2 Возмущения течения Пуазёйля в модели Джеффриса
3.3 Аттракторы возмущений
3.4 Численные результаты и визуализация
3.5 Вывод уравнения возмущений
3.6 Вспомогательная спектральная задача
Литература

Введение
Понятие аттрактора служит для описания динамики систем при больших значениях времени. Часто такое поведение (так называемые предельные режимы) характеризуют и сам процесс в целом, что обуславливает актуальность изучения аттракторов в математических проблемах современного естествознания и, в частности, гидродинамики. Грубо говоря, аттрактор — это множество, в определённом смысле притягивающее к себе траектории системы с течением времени. В различных задачах используются разные варианты понятия аттрактора, но главным его свойством является притягивание траекторий.
Понятие «аттрактор» возникло в теории динамических систем, которая изначально была тесно связана с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй половине XX в. для уравнений с частными производными в работах О. А. Ладыженской, А. В. Бабина, М. И. Вишика, Р. Темама и других математиков была построена теория бесконечномерных динамических систем. Одним из первых её приложений было доказательство существование глобального аттрактора двумерной системы Навье— Стокса в работах О. А. Ладыженской (см. [18]).
Однако применение теории аттракторов динамических систем в задачах математической физики и, в частности, в гидродинамике ограничено тем, что для построения динамической системы требуется однозначная разрешимость задачи с заданным начальным условием. Однако уже для трёхмерной системы Навье—Стокса не установлено ни существование глобального сильного решения, ни единственность слабого, так что построить динамическую систему не удаётся.
Пусть и Е L0о(0, Т; У3), тогда, используя неравенство ( 1.5,3), при почти всех t Е (О, Т) имеем ||( < ((1 + кС) + e)\u\LooT.V3), то есть функция ( J3+eeN+кДА)и действительно принадлежит пространству Loo(0, T; У_3). Отсюда же получаем оценку
||(Д + ee_p7V + KJiA)u\LQtT-y~3) ((1 + кС) + e)||M||iM(o,r;y3), означающую ограниченность оператора.
С учётом леммы 1.5.3 обратный оператор выписывается явно:
((J3 4- se-plV + kJA)~1u) (t) = (J3 + ee~3tN + KJiAy'uit).
С учётом неравенства ( 1.5.3) имеем оценку
||((-Д + ee_piV + kJA) 1u) (£)||3 -||it(i)||_3, из которой следует, что ( J3 + ee_piV + kJiA)~1 : Lœ(0, T; У~3) -> LO, T; F3)
— ограниченный оператор. □
Лемма 1.5.6, Отображение пространств
[0,1] х £«,([(0, Г]; У“3) -> 1/сю([0, T]; V3), действующее по правилу
(А, «) н4 ( J3 + ее_ХаЛГ + кДЛ)-1« ( 1.5.6)
непрерывно.
Доказательство. Отметим, что корректность определения отображения ( 1.5.6) гарантируется леммой 1.5.5.
I шаг. Покажем, что оператор J3+zeaN+kJA непрерывно зависит от А е [0,1] в норме пространства операторов C(L0о(0, Т; УДоДО, Т У~3)). Рассмотрим последовательность {Ат} с [0,1], Хщ —> Ао. Для произвольной функции g € Lœ(0, Г; У3) имеем:
II (ОД + Ze-XaN + кДА) — (J3 + Ze-XoaN + К.Д1 4) )f? 11 Z/oc (0,7’;Vr—3)
= e vrai max ||(е- - e~at)Ng(t)\y_3