Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем

• Автор: Городецкий, Антон Семенович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ.

§0.1. Аттракторы и временные средние.

§0.2. Косые произведения.

§0.3. Частично гиперболические диффеоморфизмы.

§0.4. Содержание диссертации.

ГЛАВА I
Иерархия аттракторов. Минимальные и статистические аттракторы. §1.1. Минимальные и статистические аттракторы.

§1.2. Иерархия аттракторов динамических систем.

ГЛАВА II

Частично гиперболические отображения, близкие к прямым произведениям.

§2.1. Внутренне гиперболические гомеоморфизмы.
§2.2. Регулярность центральных слоев частично гиперболических отображений, близких к прямым произведениям.
ГЛАВА III
Некоторые новые грубые свойства гладких динамических систем. §3.1. Свойства ступенчатых косых произведений.
§3.2. Свойства мягких косых произведений.
§3.3. Плотные орбиты с нулевым показателем Ляпунова и плотные множества периодических точек разных индексов.
Литература

ВВЕДЕНИЕ.
§0.1. Аттракторы и временные средние
Существует много разных не эквивалентных определений интуитивно понятного объекта - аттрактора динамической системы. Часть из них приведена в разделе 1.2.1. Напомним некоторые идеи, в связи с которыми эти множества определялись и исследовались.
0.1.1. Максимальные аттракторы. Рассмотрим диффеоморфизм компактной области Евклидова пространства строго в себя. / : В —» В. Такой диффеоморфизм называется диссипативным. Положительные итерации отображения / этой области образуют вложенную последовательность компактных множеств. Их пересечение есть непустое компактное множество, инвариантное под действием отображения /. Оно называется максимальным аттрактором отображения / и обозначается Атах.
Определение 0.1.1. Максимальным аттрактором диссипативного диффеоморфизма / : В —> В называется множество
Л„ах = Г?ГВ.
На первый взгляд кажется, что максимальный аттрактор можно рассматривать как множество всех предельных точек фазового пространства В под действием отображения /. Но на самом деле он может быть гораздо больше, как показывает следующий пример. Рассмотрим отображение кольца, имеющее инвариантную окружность в середине. Пусть на самой окружности отображение имеет две неподвижные точки: один аттрактор и один репеллер. Наблюдатель, вычисляющий орбиту отображения со случайным начальным условием, спустя достаточно продолжительное время будет видеть не саму орбиту, а ее предельное положение. С вероятностью нуль это предельное положение есть седловая неподвижная точка отображения. С вероятностью единица - узел. Этот узел и должен считаться настоящим, или ” физическим” аттрактором отображения.
Максимальный аттрактор устойчив по Ляпунову в следующем смысле. Для любой окрестности аттрактора существует такая итерация отображения /, что образ фазового пространства лежит в заданной окрестности. В предыдущем примере максимальным аттрактором является

окружность. ’’Физический” аттрактор - узел. Он устойчив по Ляпунову и притягивает почти все орбиты, кроме тех, что лежат на устойчивом многообразии седловой неподвижной точки.
Следующий пример показывает, что наблюдатель может увидеть ’’физический” аттрактор, не являющийся устойчивым по Ляпунову. Рассмотрим сдвиг за единичное время вдоль орбит векторного поля с седловой особой точкой, обладающей двумя петлями сепаратрис, которые образуют ’’восьмерку”. Само векторное поле определено в окрестности ’’восьмерки” и направлено внутрь на границе. Сдвиг за единичное время вдоль орбит такого векторного поля отображает рассмотренную окрестность строго внутрь себя. Векторное поле выбрано так, что максимальный аттрактор есть в точности ’’восьмерка” из сепаратрис. При этом орбиты проводят большую часть времени рядом с седлом. Наблюдатель, который следит за орбитой в течение длительного времени, будет видеть седловую точку как наиболее типичную точку орбиты. Более точно, предположим, что наблюдатель фотографирует точку на экране монитора, показывю-щую положение орбиты динамической системы. Вычисляется в течение длительного времени орбита со случайно взятыми начальными условиями. При этом предположим, что объектив открыт в течение длительного времени, чтобы получить картину того, как движется светящаяся точка орбиты на мониторе. Точки, чьи малые окрестности часто посещаются орбитой, будут светлыми. Те же точки, которые посещаются редко, должны быть темными. Напомним, что начальные условия выбирались случайным образом.
Точки, которые с положительной вероятностью окажутся светлыми, образуют множество, которое логично считать ’’физическим, или минимальным аттрактором”. Формальное определение приведено в разделе
1.1.1.
0.1.2. Странные минимальные аттракторы.
Эвристическая идея, восходящая к А.Н.Колмогорову, утверждает, что если динамическая система имеет достаточно сложное притягивающее множество, то поведение системы на этом множестве имеет скорее вероятностный, а не детерминистический характер. Во многоих случаях (гиперболические аттракторы, системы Эно) это утверждение может быть формализовано.
Следуя D.Ruelle и F.Takens, будем называть минимальный аттрактор (определения 1.1.2, 1.1.6) странным, если он бесконечен. Следующая теорема, доказанная Ю.С.Ильяшенко [60], показывает, что существование

Доказательство предложения 2.1.3. Существуют такие е > 0 и С > О, что если d(x,y) < е, то d>(h(x),h(y)) < Cd^(x,y). Пусть R — max(C, e_“diamA').
Теперь если d(x,y) < £ , то d> (h(x), h(y)) < Cd^(x,y) < Rd^(x,y). Но если d(x,y) > e, to dr(h(x),h(y)) < diamA' < (£-adiamA')ea < Rd^(x,y). To есть отображение h гельдерово с показателем а (и константой Л).
Лемма 2.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.3. Предположим, что существует такая константа К > 0, что для любых х,у £ А, у £ И“ (ж) или у £ ИД (ж), выполнено неравенство: d(h(x),h(y)) < Кida (ж, у). Тогда отображение h локально гельдерово с показателем aa'.
Доказательство леммы 2.1.3. В силу леммы 2.1.1 и леммы 2.1.2 имеем: d(h(x),h(y)) < d(h(x),h(w)) + d(h(w),h(y)) < Ki(da (ж,го) + сР (w,y)) < KKi(d(x,w) + d(w,y))a < К К iLa daa (x,y). Лемма 2.1.3 доказана.
Докажем теперь теорему 2.1.3. Достаточно показать, что h гельдерово отдельно вдоль ИД и вдоль Wes. Действительно, по лемме 2.1.3 из этого следует, что отображение /г локально гельдерово с показателем aa', а по предложению 2.1.3 это эквивалентно гельдеровости с тем же показателем.
Поскольку А компактно, отображение h равномерно непрерывно. Зафиксируем во > 0. Существует такое 5о > 0, что если d(x,y) < So, то d(h(x), h(y)) < e0.
Заметим, что из (2.1.1) и (2.1.2) следует, что если х £ Wu(y), то h(x) £ Wu(h(y)), и если х £ И®(у), то h(x) £ Ws(h(y)).
Теперь пусть х £ Wu(y) and d(x, у) — d < S0. Существует такое n £ N, что
d(Sn(x),Sn(y)) < Pnd <5o< Pn+1d.
Следовательно d(h(Sn (x)), h(Sn(у))) < £o, и, используя, что p!Pa' < 1, имеем:
d(h(x),h(y)) = d(S'~nh(Sn(x)),S'~nh(Sn(y))) < Сp,ne0 =
= Сp!nSq'(eo/8q) < С(ДPa')nP°'(e0/S^')da' < [CPa'
Доказательство гельдеровости h вдоль ИД аналогично (нужно заметить, что h сопрягает 5-1 и S"-1, и воспользоваться неравенством v'Qa < 1). Теорема 2.1.3 доказана.
(e0/5$')da'(x,y).