Волновые уравнеия и стохастика

• Автор: Ратанов, Никита Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 186 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1 АСИМПТОТИКА СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Пространственные и пространственно-временные статистические решения
2. Статистические решения волнового уравнения. Формулировки результатов
3. Оценки моментных функций второго порядка
4. Сходимость корреляционных функций. Доказательство теоремы
5. Доказательство слабой компактности семейства мер {Ре}
6. Доказательство теоремы 2.1. Сходимость характеристических функционалов
7. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами
2 АСИМПТОТИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ
1. Волновые уравнения с переменными коэффициентами. Формулы для решений
ОГЛАВЛЕНИЕ

2. Волновые уравнения со случайными начальными данными и переменными коэффициентами
3. Волновые уравнения со случайными коэффициентами
3 ТЕЛЕГРАФНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ОТРАЖЕНИЕМ И ПОГЛОЩЕНИЕМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
1. Описание результатов
2. Вывод обратного уравнения Колмогорова
3. Вывод прямого уравнения Колмогорова
4. Телеграфные процессы с барьерами
4.1. Отражающие барьеры
4.2. Поглощающие барьеры
5. Решения телеграфного уравнения
6. Диффузионное приближение
7. Некоторые обобщения
ДОПОЛНЕНИЕ 1. Стабилизация статистических решений некоторых параболических уравнений
1. Формулировка результатов
2. Доказательство теоремы
3. Доказательство теоремы
ДОПОЛНЕНИЕ 2. Асимптотика решений волновых уравнений со случайными постоянными коэффициентами
1. Формулировки основных результатов
2. Асимптотическое поведение преобразований Фурье: доказательство теорем 1.1 и 1.2
ОГЛАВЛЕНИЕ

3. Асимптотика решений с осциллирующими начальными
данными: доказательство теорем 1.3 и
4. Асимптотика решений с периодическими начальными условиями: доказательство теоремы
5. Пределы корреляционных функций
ДОПОЛНЕНИЕ 3. Ветвящиеся телеграфные процессы, уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и распространение волн
1. Ветвящиеся телеграфные процессы
2. Связь с уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова
3. Связь с волновыми уравнениями в средах с памятью
4. Бегущая волна
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Понятие статистического решения

Пусть / : X —> У - некоторое сюръективное отображение
трудно показать, что оно трансформирует сг-алгебру Вх в <т-алгебру Ву подмножеств У. Мера /л переносится с помощью / на пространство (У, Ву) следующим образом:
/>(В) = МГ‘(-В)), в е
Здесь через обозначен полный прообраз множества В при ото-
бражении /.
В диссертации изучаются так называемые статистические решения уравнения (1.1), т.е. образы меры при отображении сдвига вдоль траекторий уравнения (1.1).
Примем следующее определение.
Определение 1.1. Пространственно-временным статистическим решением задачи (1.1)-(1.2) называется образ этой меры при отображении V:
Р(В) = Г>0(В) = м{У~1В), В СУ, У-1В € Вн. (1.3)
Замечание 1.1. Из этого определения следует, что мера Р сосредоточена на множестве решений уравнения (1.1).
Обозначим через Рд, в > 0 сдвиг меры Р вдоль траекторий задачи (1.1)—(1.2). А именно:
Рв{В) = в*Р(В) = Р(Г1В), В Е Ву. (1.4)
Здесь 0 и(Ь) — и(£ + в).
Введем еще несколько обозначений. Предположим, что решение и = и(б) задачи (1.1)—(1.2) определено при каждом £ > 0, причем и(Ь) Е Рг, где Иг, Ь > 0 - некоторое семейство функциональных пространств