Полное преобразование Фурье-Бесселя и сингулярные дифференциальные уравнения с DB-оператором Бесселя

• Автор: Райхельгауз, Леонид Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Введение
Часть 1. Полное преобразование Фурье-Бесселя, обратимость, свертки
1. Введение
1.1 Формулы обращения
1.2 Полное преобразование Фурье-Бесселя и дифференциальные операции
1.3 Свертки и псевдосвертки, порождаемые полным преобразованием Фурье-Бесселя
Часть 2. О решениях сингулярных обыкновенных
В-дифференциальных уравнений с весовыми
начальными условиями
2. Введение
2.1 Преобразование Фурье-Бесселя функции гА
2.2 Пример задачи Коши для обыкновенного сингулярного дифференциального уравнения с весовыми граничными условиями
2.3 Полигармоническое уравнение
2.4. Полигармоническое уравнение с дробным индексом размерности пространства и В-полигармоническое уравнение
2.5. Обыкновенные дифференциальные уравнения с оператором Бесселя
2.6 Фундаментальное решение обыкновенного сингулярного дифференциального уравнения
2.7 В-производные от функций с конечным весовым скачком
2.8 Пример — весовая задача Коши для сингулярного уравнения Бесселя

Часть 3. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений с Пв-оператором Бесселя
3. Введение
3.1.Фундаментальные решения сингулярного оператора теплопроводности
3.2. Фундаментальные решения сингулярного оператора теплопроводности с особенностью на координатной гиперплоскости
3.3 Системы дифференциальных уравнений с Г)д-оператором Бесселя
3.4 О теоремах Гельфанда-Шилова о мультипликаторах и свертывателях
3.5 Общие формулы решения задачи Коши
3.6 Параболические системы
Список литературы

Введение
Актуальность темы диссертации.
Задачи для дифференциальных уравнений с особенностью в коэффициентах давно и хорошо известны. Однако, методы их решения не являются стандартными и, как правило, зависят от характера особенностей уравнения. Один из подходов, развитый И.А. Киприяновым и его научной школой (Л.А. Иванов, В.В. Катрахов, М.И. Ключанцев, Л.Н. Ляхов и др.), заключается в использовании интегральных преобразований, приспособленных именно к данной особенности. В диссертации исследуются уравнения с I? в-операторо м Бесселя, появление которого можно проследить даже в классических задачах. Например, применение интегрального преобразования Фурье-Бесселя для определения фундаментального решения £т,п,7 полигармонического уравнения Дт/ = 0 в Яп приводит к следующей задаче Коши с весовыми начальными условиями, определяемыми младшими 0#-производными: уравнение — = <5П_Ь где Вп^г = ^ ^ % ;
начальные условия —
Г Итг_+о £щ,п,т(г)—^(п)!1 п
[ Нгп^о г{хОкв£т,па(г)=0, к=0,1,... , 2т - 2, где |5х(п)| — площадь единичной сферы в В.п, а
п* = / ВЯ, 4 = 2!, д £в^~1)/2, к = 21 + 1 ’ >>•••>
Как видим, даже при исследовании классических задач приходится иметь дело с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя порядка /с. Этот оператор появляется и совсем в простых задачах, например, В (и у) — Дин + 2«'н' + иВу, но здесь первые производные это и есть оператор (первого порядка). Уравнения с /^-оператором Бесселя естественно исследовать, используя специальное „полное“ смешанное преобразование Фурье-Бесселя (введено И.А. Киприяновым и В.В. Катраховым), поскольку в его образах этот оператор имеет весьма обычный символ — (г£) . Ясно, что соответствующая методика оказывается общей и может применяться к более широкому классу

Из равенств (2.1.5) и (2.1.7), примененных к внеинтегральному члену этого выражения, получим

Снова интегрируя по частям, получим

Рв[В1£](0 = ~т£-т - ЫК)С^(г) 1*
Г7 СІГ.

У (-£2Х?о^1 Ю£(г)г7«гг = -£2£(
По определению й-функцион ал а Киприянова, имеем Рф [<57] = шуу. Таким образом, из (2.1.3), (2.1.4), (2.1.5), (2.1.6) и (2.1.7) получим
- _ / 1 1 _1_ _ ^
Ы + |5!і7 С2 " £2’
(2.1.8)
где .4=^.
Теперь, чтобы найти решение задачи (2.1.3-5), остается взять обратное преобразование Фурье-Бесселя от (2.1.8):
£ (г)
-рвхт =

(г) = -АС1(ч)Рв

где Сі(7) константа, нормирующая обратное преобразование Фурье-Бесселя:
Сх (7) =
Из (2.1.4) при а = 2, получаем

1т^2 I 7 +

СВ[Г-2Ш=^2,
^2
27-2г(1±1) Г (3=1)

Разумеется, здесь преобразование Фурье-Бесселя понимается в смысле обобщенных функций Ф!). Таким образом, получим
1 2-3+тГ(2±1) Г (2=1)
£(г) = ТБ-т
|5!і 27-1 Г2 (2+1)