Инвариантные множества и бифуркации динамических систем с ударами

• Автор: Крыжевич, Сергей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 293 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Вспомогательные результаты и сведения о свойствах решений систем с ударами

1.1 Постановка задачи

1.2 Существование, единственность и зависимость решений

от начальных данных и параметров

1.3 Диссипативность виброударной системы и устойчивость ее периодических

решений в целом

1.4 Структурная устойчивость

1.5 Системы с разрывными правыми частями на клеточных

комплексах и их алгебраические инварианты

2 Негладкость инвариантных многообразий, как причина появления хаотических инвариантных множеств
2.1 Бифуркация скольжения
2.2 Другие возможности
наличия гомоклинической точки
2.3 Скольжение в натурных и
численных экспериментах
3 Асинхронность ударов в окрестности

периодического решения
3.1 Хаотическая динамика в окрестности стука
3.2 Системы, описываемые уравнением Льенара с правой частью большого
периода
3.3 Случаи единственности периодического решения
3.4 Асинхронность, как причина сложной
динамики в системах с "мягким" ударом
3.5 Численные эксперименты
4 Негиперболический хаос в дискретных динамических системах
4.1 Негиперболическое скольжение
4.2 Пример
4.3 Негиперболические гомоклинические
точки диффеоморфизмов
4.4 Нетрансверсальные гомоклинические точки
4.5 Доказательство леммы 4.3.
Заключение

Список обозначений.
Rn — «-мерное евклидово пространство;
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел:
Q ~ множество рациональных чисел;
• | евклидова норма в пространствах Мп, а также соответствующая матричная норма;
|| • || — нормы в функциональных пространствах; д — производная некоторой функции д по времени t; дх — сужение функции д на множество X; д~1 — функция, обратная к д дт{х) — т - тая итерация функции д
U — замыкание множества U;
Int U — внутренность множества U;
Тг А — след матрицы Л;
det А — определитель матрицы А;
lirri inf хп — нижний предел числовой последовательности хп;
п—>оо
lim supхп — верхний предел числовой последовательности хп;
о(д(х)) — величина более высокого порядка малости, чем д(х);
0(д(х)) — величина порядка малости, не меньшего, чем д(х);
g(t0 + 0) = lim g(t) — правосторонний предел функции д в точке £0; t—^io+
g(t() — 0) = lim g(t) — левосторонний предел функции д в точке ф;
t—>to~
diamX — диаметр множества Х
(А)-(Е) — виброударные системы:
^ dF d(FuF2) 0 Ä
Dp = —— = матрица Якоби отображения
dz о(х, у)
Л — область задания системы (Я).

гр = со(хи,уи), гт = со(хи,уи). Аналогичным образом представим /(А, х, у, у) = /ДА х, у) + /Т(А х. у). Положим также
/о (А лт, у) = /(А О, £т, 0, ут, у).
§2. "Условия удара. Столкновения между упругими телами предполагают значительное изменение их скоростей за малый интервал времени. Часто приемлемым с физической точки зрения является предположение об абсолютной жесткости соударяющихся тел, при котором изменение скорости происходит мгновенно.
Ньютоновская модель удара. Предположим, что система (1.1.2) задана при х £ Л, у 6 М", а при х Е М имеет место удар, задаваемый следующим условием.
"Условие 1.1.1. Если в некоторый момент времени А) выполнено условие ж(А)) £ М, то х(Ь0 + 0) = жДо — 0),
у( А) + 0) = у (А, - 0) + Х(£0,т(А)),у(А) - °))- (1.1.3)
Здесь Х(А ж, у) ~ непрерывное по Ь семейство непрерывных отображений множества М х К" в себя, таких, что 1(1, х, у) — (х,у) если у» ^ 0 и, если 2/А х, у) = (х у'), то у( ^ 0.
Можно считать, что удар происходит на временном интервале
[А> — АА А) Т Дгф
где величина Д^, как правило, предполагается фиксированной. Тогда условия удара следует переписать в виде
ж(А> + АД = .т(А) - АД + ,/х(Ад ДА х(Ъ), у(А) - Д^)), ^ ^
у(А) + АД = у(А) - АО + Мг0; дА£(А)),у(А) ~ А*))-
Здесь Зх — 0(Аф, Зу Ф 0(Аф. На интервале (Аз — АА А) + А^) решение доопределяется произвольным образом.