Ветвление и асимптотика решений нелинейных уравнений волновых движений жидкости

• Автор: Макаренко, Николай Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 187 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
§1. Постановка основных краевых задач
1. Уравнения движения (20). 2. Задача Коши-Пуассона (22). 3. Задача Коши на свободной границе (23). 4. Плоские стационарные течения двухслойной жидкости (25). 5. Переменные Мизеса (26).
§2. Шкалы банаховых пространств аналитических функций
1. Абстрактная форма теоремы Коши-Ковалевской (28). 2. Равномерно аналитические функции (30). 3. Интегралы Гильберта и Пуассона в шкале В (32). 4. Обобщенные классы Харди (33). 5. Оценки первообразных (37).
§3. Ветвление решений инвариантных вариационных уравнений.41 1. Фредгольмовы уравнения с симметриями (41). 2. Алгебра Ли инфи-нитезимальных операторов (43). 3. Вариационная формулировка (46 ).
4. Теорема о редукции (47). 5. Пример полной редукции (49). 6. Пример частичной редукции (53).
Глава 2. Плавный бор в двухслойной жидкости
§4. Законы сохранения и дисперсионные свойства бора
1. Исходные уравнения (58). 2. Условия согласования данных на бесконечности (60). 3. Дисперсионное соотношение (63). 4. Свойства амплитудных кривых (67). 5. Формулировка бифуркационной задачи (72).
§5. Асимптотическое представление решений типа бора
1. Уравнения для коэффициентов ряда возмущений (75). 2. Структура
решения (78). 3. Асимметрия бора (80). 4. Условия разрешимости для
старших приближений (83).

§6. Смешанная краевая задача для уравнения Пуассона
в двойной полосе
1. Постановка задачи (86). 2. Представление решения (88). 3. Свойства
дисперсионной функции (90). 4. Свойства функций Грина (92). 5. Оценка
решения (94).
§7. Теорема существования
1. Формулировка результата (99). 2. Оценки нелинейных отображений
(101). 3. Операторное уравнение (104). 4. Оценка оператора Грина (108).
5. Проекции Ляпунова-Шмидта (110). 6. Уравнение разветвления (114).
Глава 3. Длинноволновая асимптотика нестационарных поверхностных волн
§7. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши-Пуассона. 118 1. Исходные уравнения (118). 2. Преобразование к уравнениям на границе (119). 3. Уравнения Серра-Су-Гарднера (120). 4. Уравнения Буссинеска (123).
§9. Оценки оператора ”нормальная производная”
1. Граничное интегральное уравнение (126). 2. Оценки тригонометрических интегралов (128). 3. Оценки операторов с сингулярными ядрами (130). 4. Оценки операторов с ядрами Пуассона (133). 5. Основная лемма (135).
§10. Асимптотика оператора ’’нормальная производная”
1. Формулировка результата и схема доказательства (137). 2. Асимптотика операторов А~ и Ь~ (138). 3. Асимптотика операторов А+ и Ь+ (139).
4. Тождества для коэффициентов (142).
§11. Оценка остатка в длинноволновой асимптотике решения задачи
Коши-Пуассона
1. Существование и оценка точного решения (145). 2. Оценка приближенного решения (146). 3. Оценка погрешности (148). 4. Оценка для системы Буссинеска (150).

Глава 4. Дипольная асимптотика в задаче о генерации нелинейных волн
§11. Неустановившиеся поверхностные волны при наличии
погруженного цилиндра
1. Постановка задачи (152). 2. Инверсия поля скоростей (153). 3. Ди-польное приближение (155). 4. Редукция к.уравнениям на границе (156).
5. Аппроксимации интегрального уравнения (158).
§13. Предельный переход по радиусу цилиндра
1. Операторы с суперпозициями ядер Пуассона (161). 2. Оценки скорости на границе (164). 3. Существование и оценка решения (165). 4. Оценка остатка (167).
Литература

й((,ф) = —- f elx±ipS) u{x±ip)dx.
Z7T J
Несколько более слабое неравенство аналогичного вида справедливо и для Фурье-образа функции и Е Е*. Убедиться в этом нетрудно,-сдвинув вещественный контур интегрирования в формуле преобразования Фурье для u{z,ip) вверх или вниз вплоть до каждой из прямых Im z — ±р:

Указанный сдвиг контура законен ввиду аналитичности и в полосе Imz < р, непрерывности в замкнутой полосе Imz < р и равномерной по сходимости интеграла Фурье при |/т£| < а. Отсюда с помощью неравенства (14) получается оценка
|й(£ + ip,ф) < —— -т-рт- \и\Р:Сеехр(-р£). (15)
ча~т
Из нее сразу следует полнота пространства Е*. В самом деле, для любой фундаментальной последовательности функций ип их Фурье-образы в силу последней оценки равномерно сходятся при г} < а < а и ф Е [а,Ь к аналитической по ( в полосе |/mCl < а функции й(ф,ф), непрерывной по совокупности переменных. Из равномерной сходимости последовательности неотрицательных функций sup йп((,ф) к

sup|w(C,'0)| в силу леммы Фату имеем

+оо +оо
I ер sup |Й(С,)| < / еЖ1 sup |и„(С,Ф)(%,
-оо ф€[а,ь] ф€[а,ь]
откуда и вытекает равномерная по г ограниченность интеграла (13) для предельной функции.
Введенное выше пространство Фурье-образов й является специальным случаем введенных Э.Хилле ([95], гл. VI, §2) обобщенных классов Харди Нр(а;Х). Эти классы определяются как множества голоморфных в полуплоскости г/ > а функций /(£ + ip) со значениями в банахо-