Траектории-утки сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Бобкова, Алевтина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с. : ил.

Глава I. Траектории-утки в многомерных сингулярно возмущенных системах с одной быстрой переменной

1. Постановка задачи

2. Доказательство теоремы

Глава II. Решения многомерных сингулярно возмущенных систем, не являющиеся утками

1. Вспомогательные утверждения

2. Доказательство основных результатов

Глава III. Некоторые случаи вырождения

1. Возмущение исходной системы

2. Рождение двух траекторий-уток из одной

Глава IV. Случай нескольких быстрых переменных

1. Постановка задачи

2. Доказательство теоремы
Заключение
Список литературы

В данной работе исследуется поведение решений сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется сингулярно возмущенной, если ее можно представить в виде
£Ж = /(ж, у, *,£■), X 6 Я,
у = д{х,у,ь,е), у е яп,
где 0 < е 1, /,-(х,у,2,0) = 0(1) при £ —>• 0, г = 1 ттг, а точка обозначает производную по времени t. Очевидно, что такие системы не удовлетворяют условиям теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра, а значит, их надо рассматривать отдельно. При изучении сингулярно возмущенных систем возникает множество интересных явлений. Их легко проиллюстрировать на примере уравнения Ван-дер-Поля, которое можно представить в следующем виде:
ех = у - /(ж) = Я(х,у), у --(ж + а) = в{х,у), ж,у <= Я, (1)
где точка обозначает производную по времени, е - малый параметр, а - числовой параметр. Считаем, что график функции /(ж) имеет вид, сходный с кубической параболой и выполнены свойства /(0) = 0, /'(ж) > О при ж > 0 и ж < —1, /'(ж) < 0, при х € (-1, 0), /"(—1) < 0, /"(0) > 0, что соответствует показанному на рис. 1.
Естественно называть переменную ж быстрой переменной, а переменную у - медленной, так как в каждой точке (ж*,у„) фазовой плоскости, в которой выполнено |Е(х*,у»)| > д > 0, где q — некоторая константа, не зависящая от е, вектор фазовой скорости будет иметь вид (Я(х*,у*)/е, С(х*,у*)). Таким образом, при малом значении е вектор фазовой скорости практически параллелен оси ж, то есть происходит почти мгновенное перемещение вдоль нее.
Положим £ = 0. Тогда система (1) превратится в вырожденную систему
Я{х,у) = 0, у = С{х,у). (2)
Из первого уравнения системы (2) получим уравнение у = /(ж), которое определяет так называемую кривую медленных движений, а именно кривую, в £—окрестности которой значение фазовой скорости каждой из переменных имеет порядок единицы. На рисунке 1 изображена кривая

медленных движений и показано, как направлены векторы фазовой скорости системы в различных частях фазовой плоскости. Глядя на рисунок сразу становится понятно, почему участки = {(х,у) : Р(х,у)
О, Р'х{х,у) < 0} и Д+ = {(т, у) : Р(х,у) = 0, Р'х{х,у) > 0} медленной кривой называются устойчивым и неустойчивым участками соответственно.
Итак, система (1) имеет единственное положение равновесия (—а, /(—а)), которое, очевидно, асимптотически устойчиво при а<0иа>1и неустойчиво при а в (0,1) для любого фиксированного значения е > 0. Кроме того, известно, что данная система имеет устойчивый предельный цикл при а € [а, 1 — 6], где а, Ь > 0, а < 1 — Ь. Возникает вопрос, каким образом из асимптотически устойчивого положения равновесия при а < 0 возникает при увеличении а предельный цикл.
В 1978 году этим вопросом занимались французские математики Фран-син Диенер и Марк Диенер. Они исследовали данную систему методами нестандартного анализа и обнаружили появление нового вида траекторий, которые они назвали траекториями-утками (см., например [1], [2]).
Итак, механизм возникновения предельного цикла из положения равновесия показан на рисунке 2: от а) до г). Интервал изменения параметра а, на протяжении которого происходит это ’’перерождение”, очень мал

2. Рождение двух траекторий-уток из одной.
В этом параграфе рассматривается частный случай двух медленных переменных для системы (1.1) и исследуется ее возмущение. А именно, 'возмутим правую часть системы для медленных переменных, а уравнение для быстрой переменной оставим в первоначальном виде, так как из результатов предыдущего параграфа видно, что его возмущение не имеет смысла при изучении траектории с конкретным нулевым приближением. А в этом параграфе мы как раз будем искать траектории-утки с наперед заданным нулевым приближением.
Итак, рассмотрим систему
£ = 1{х,у) + дУ(х,у,д), хеВ2, |д| -С 1, ,3 1(),
еу - д{х,у), уей, 0<£«1.
Предполагаем, что для системы (3.10) выполнены первые три условия исходной задачи, то есть условия 1.1 — 1.3, а вместо условия 1.4 имеет место следующее:
Ф(*о) = о, ф'(в„) = 0, Ф"(во) ф о (3.11),
где, напомним, яо - точка пересечения выбранной нами траектории вырожденной системы с кривой /о- Согласно формуле (1.6) функция Ф зависит от правой части системы, поэтому для системы (3.10) функция Ф будет выражаться следующим образом:
Ф(я,д) = {ХГ1р(х)Лх,1р(х)) +1хР(х,ср{х),ц))х=фу (3.12)
(Заметим, что Ф(з,0) = Ф(й), где функция Ф(я) определяется соотношением (1.6).) Тогда прежнее условие 1.4, согласно выражениям (3.11), примет вид:
Условие 3.1. Ф(я0,0) = 0, Ф((^о,0) = 0, Ф^^О) ф 0, Ф^(з0,0) ф 0.
А это значит, что функцию Ф(й,д) можно представить в следующем виде:
Ф(в, д) = Ф^о, 0)д + ^Ф"5(5о, 0)(я —50)2 + О(д2, (я-яо)3, Д^-во))- (3.13)
Из этого выражения видно, что если дФ^йо, 0)/Ф"5(во, 0) < 0, то существуют такие значения йь вг параметра э, что Ф(эо + д) = 0, Ф((во + ^1,2, д) Ф 0. Тогда для системы (3.10) выполняются все четыре условия