Приближенное решение краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с сингулярной линией

• Автор: Джумаев, Эраж Хакназарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 80 с.

ОГЛАВЛАНИЕ

§ 1. Приближенное решение задачи типа Е для уравнения ООСТП

1.1 .Постановка задачи

1.2. Аппроксимация решения тригонометрическими интерполяционными полиномами

1.3.Оценка погрешности

§2. Приближенное решение задачи типа Неймана для уравнения ООСТП

2.1 .Постановка задачи

2.2. Аппроксимация решения тригонометрическими интерполяционными полиномами

2.3. Оценка погрешности

§3.Третья краевая задача, явная формула представления решений и нахождение приближенного решения

3.1. Постановка задачи

3.2. Нахождение явного решения
3.3. Приближенное решение третьей краевой задачи
§4. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения ООСТП в случае
0<р<1
4.1. Постановки задач
4.2. Приближенное решение задачи Д
4.3. Приближенное решение задачи N
§5.0 приближенном решении граничных задач для одного уравнения
высшего порядка (для итерированного ООСТП)
5.1. Постановки задач
5.2.Приближенное решение задачи А
5.3. Оценка погрешности приближенного решения задачи ЛЕ
5.4. Приближенное решение задачи ВЕ
Литература
Актуальность темы. Обозначим через Ь верхнюю полуокружность х2+у2-1, через / отрезок (-1,1) оси ох, тогда такой контур будет границей полукруга в верхней полуплоскости, который будем обозначать Є. Полукруг и полуокружность симметричные с П и Ь относительно оси ох обозначим через й и Ь , а В=СиІиО Г=ЬиҐ. В описанной области С будем рассматривать дифференциальное уравнение
д2и д2и и ди
,А=С (0Л)
Это уравнение имеет фундаментальное значение в целом ряде разделов математической физики [2], гидродинамики и теории упругости [1,9] и в литературе известно под названием уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу [16,37] или уравнения обобщенной осесимметрической теории потенциала [GASPT- Generalized Axially Symmetric Potential Theory) [38,39].
Но мы будем его называть уравнением обобщенной осесимметрической теории поля (уравнением ООСТП).
К дифференциальному уравнению (0.1) приводят многие пространственные (п>3) задачи с той или иной симметрией области задания или решения. Если в трехмерном уравнении Лапласа для тела вращения перейти к цилиндрическим координатам, то в меридиональной плоскости получим (0.1).

Кстати, если в (0.1) положить ь~х->т1~~^У , то из него получим дифференциальное уравнение
Откуда
ср(г) = )^ф{п^11=^Ц4-Зг2). 2 0
Тогда
Легко можно видеть, что такое решение действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению с краевым условием.
Пример 2. Пусть ц=1, %(х, у) =со$ 0 и а-произвольно заданное положительное число. Из формулы (8) находим <3(в)
1в -/в
2 VI-соя#
[е'0+е-1в
откуда
и по формуле (10) ф(г) = г
Формула (3.13) дает и{х,у)=———. На границе области должна быть
а +1

+ аи(х, у) = соя#.
Следовательно, единственное решение задачи (3.1)-(3.2) дается формулой