О функционально-дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты

• Автор: Шамов, Энвер Шамсудинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 132 с. : ил.

Оглавление
Введение

Основные обозначения и определения

Краткое содержание диссертации

ГЛАВА 1. О решениях, убывающих экспоненциально

§1.1 Вспомогательные леммы

§1.2 Сведение начальной задачи с произвольными начальными условиями к задаче с однородными

начальными условиями

§1.3 О решениях, убывающих экспоненциально вместе со своими производными

до /7-го порядка

ГЛАВА 2. О решениях, убывающих быстрее экспоненты-г

§2.1 Преобразование уравнения
§2.2 О росте решений уравнений с запаздывающим
аргументом
§2.3 О существовании решений, исчезающих
на полуоси
§2.4 Случай уравнения с распределённым
запаздыванием
§2.5 Примеры для иллюстрации абстрактной
теории
Литература
Введение
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в XVIII веке в связи с решением задачи Эйлера о розыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. С этой задачей связано дифференциально-разностное
уравнений с отклоняющимся аргументом была предметом специального рассмотрения в статье [27] А.Д. Мышкиса. Основы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и постановка начальной задачи даны в диссертации А.Д. Мышкиса «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950г.).
Разработка теории таких уравнений начата, в основном, в последние 40 -50 лет под влиянием запросов техники и естествознания. Эта теория стала применяться в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, техники и экономики. Особенно эта теория нашла своё применение в современной технике, где имеет дело с колебательными процессами в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в автоматике и технике, электросвязи, радиолокации и т.д.
Начальным этапом было изучение скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Ими занимались А.Д. Мышкис [27],
С.Б. Норкин [28], Л.Э.Эльсгольц [47], Э.Пинни [30], Р. Беллман, К.Кук [12]. И.В. Азбелев [2], А.М.Зверкин, Г.А. Каменский и др. При исследовании дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, в основном, применялось преобразование Лапласа и метод шагов.
В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах. В числе книг, где с единой позиции трактовались многочисленные вопросы современной теории функционально-дифференциальных уравнений, можно назвать монографию Дж. Хейла [32]. Исследованием дифференниально-
уравнение вида
рассмотренное Кондорсе в 1771 году. Теория

разностных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений путём изучения обратимости соответствующих операторов занимался В.Г.Курбатов 1231. классическими стали результаты исследований Э.Хилле, Р.Филлипса [33], К. Иосида |16], Т. Като [ 171 в этом направлении, которыми были получены первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения первого порядка вида
0,11(1)- Л(г)м(0 =0, О ~--

с неограниченным оператором в банаховом пространстве,
сформулированные в терминах полугрупп операторов.
Следующим шагом в развитии теории функциональнодифференциальных уравнений стала работа Т. Като [17], в которой получена
теорема существования решения уравнения х (/) — А (/)х(/) с переменным неограниченным оператором. Задача Коши для операторов более широкого класса изучали Ш. Агмон и Л. Ниренберг [I]. Ими же получены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста. Такие же результаты были получены А. Пази 129] для уравнения, коэффициенты которого отличаются от постоянного на экспоненциально убывающие слагаемые.
Дальнейшим существенным шагом было изучение Р.Г. Алиевым [3,4,51 абстрактных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, с неограниченными операторными коэффициентами видов

о,4/)('&,<,)"(')=/(,),

/7-1 т
4Ч)-ХЕлЖ,(, )Д‘4')=/(0.
к=0 /-0 х
'£>»(/)- |ы(г - т)с!гА(г, г) = /(/),

§1.1 Вспомогательные леммы
Заметим, прежде-всего, что при исследовании уравнения на полуоси t > > _со, рассматривается уравнение с запаздывающим аргументом, т.е.
рассматривается начальная задача для функционально-дифференциального уравнения П~ го порядка с неограниченными операторными коэффициентами
п-1 т г
£>(')- A"w(/)-XSK + AkM)pi4l+i4,(l)Dil,(,)= ЛЛ< > *0’ (1.1.1)
А = О /=()
с начальными условиями
«<0(/)= gk{> t о, */U,(/o+0)=gx(/0)l /г = 0,Л7 - 1. (1.1.2)
Возможен частный случай, когда £к(0 = 8 к=0,п — 1, т.е.
начальные функции 8 к if') являются производными от одной и той же функции. Полагается также выполненным условие kiK/ v)s kikj =
/г —0,/7 — 1, у—0, позволяющее применение полученных результатов к уравнениям без отклонения аргумента.
Лемма 1.1.1. Пусть выполнены условия: о) (А/ + (?)) ' У — замкнутые, к — 0, /7 — 1, / = 0, /77;
б) (-А/ + А/(0)- ~ У - ограниченные, к = 0,/7 — 1, / = 0,111',
в) Ь1{()<г<,г>10, gk(t)eL2(R'°;X к = 0,п-, ./ = 1,/я;
Л М (?) £ £ А'= 0,/7 — 1, гс)е (?) —решение задачи (1.1.1),
(1.1.2);