Бегущие поверхностные волны над подводным хребтом

• Автор: Кузнецов, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 109 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава 1 Предварительные сведения
§ 1 Функциональные пространства
1.1 Пространства Еа(р)
1.2 Пространства Ув
1.3 Пространства СУ
§ 2 Псевдодифференциальные операторы
2.1 Определения и свойства
2.2 Примеры операторов
§ 3 Классы нелинейных отображений
Глава 2 Редукция задачи о волноводе к эквивалентной задаче ветвления
§ 1 Постановка задачи
§ 2 Реализация «нормальной производной»
2.1 Существование и оценки решения задачи (2.11)
2.2 Представление оператора К
§ 3 «Восстановление» формы свободной
поверхности £ по функции <р
§ 4 Линейная задача
§ 5 Определение высших гармоник по £ Уд
§ 6 Вывод основного уравнения
Глава 3 Возмущение спектра
§ 1 Основная теорема
§ 2 Приближенное решение
2.1 Главная часть оператора (А + Т)~1Т’Ь
2.2 Построение приближенного решения

§ 3 Точное решение
3.1 Уравнение на «собственное число»
3.2 Главная часть решения уравнения (3.22)
3.3 Завершение доказательства теоремы 3.
§ 4 Вариант основной теоремы
§ 5 Фредгольмовость линейной задачи в
§ 6 Распространение звука в неоднородной среде
§ 7 Линейные стационарные волны,
бегущие вдоль подводного хребта
Глава 4 Ветвление решения в пространстве V*
§ 1 Метод решения
1.1 Вид решения и условие разрешимости
1.2 Оценки собственной функции линейной задачи (3.44) .
§ 2 Оценки операторов
§3 Уравнение на «собственное число»
§ 4 Существование собственной функции
Приложение
§ 1 Вспомогательные утверждения
§ 2 Доказательство теоремы 2.3
Литература

Введение
Изучение волновых процессов в сплошных средах ведется на протяжении многих десятилетий. Эта тематика не теряет актуальности как из-за разнообразия форм движения, так и практической ценности результатов исследований. Сложность управляющих этими движениями законов заставляет строить точные решения специального вида, либо прибегать к различным приближениям точной теории. Каждому полученному решению соответствует особый тип волны, описывающий конкретный физический процесс.
Иногда физические явления характерны тем, что вдоль избранного направления распространяются волны, амплитуда которых затухает в перпендикулярном направлении. При этом говорят, что процесс сопровождается эффектом волновода. Примером тому может служить подводный канал для звуковых волн в океане. Из акустики известен общий факт: если скорость звука имеет минимум вдоль некоторой прямой М. то от источника звука вдоль нее распространяется группа медленно затухающих волн, энергия которых локализована вдоль М.
В начале 50-х годов Мунком и Арсэром [1] на основе применения принципа геометрической оптики в акустическом приближении была показана возможность существования волновода для случая линейных поверхностных волн тяжелой жидкости.
В 1957 году М. А. Лаврентьев высказал гипотезу (независимо от Мунка и Арсэра), что вдоль подводного хребта может распространяться волна, значительно отличающаяся от той. что распространяется над глубоководным участком бассейна; иными словами, что уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости допускают решения, периодические или близкие к ним по направлению хребта и быстро убывающие в поперечном направлении. Отчасти такое предположение следовало из наблюдений за волнами цунами: в местах выхода

Замечание 2.2. Из (2.8) - (2.9) и предложения 2.1 следует, что операторы Я и 3 представляют собой регулярные аналитические функции от искомых функций С, V5: 7.’(д,С)<р и нх производных, причем члены разложения этих аналитических функций в степенные ряды имеют полную степень не менее 2.
Оператор К имеет сложную структуру, связанную со своей нело-кальностью. Выписать его явно не представляется возможным. Тем не менее, в конкретных задачах удается либо получить оценки на него, либо выписать асимптотику (при наличии малого параметра).
В следующем параграфе будут найдены первые три члена разложения «нормальной производной» по параметру q, а также получена оценка слагаемых более высокого порядка. Сейчас лишь отметим, что в нулевом приближении К = [71| V! — псевдодифференциаль-ный оператор первого порядка, свойства которого приведены в главе 1, п. 2.2.
Нормы функций С и <р в соответствующих функциональных пространствах предполагаются малыми (порядка д0^2). Поэтому молено считать (подробное обоснование этого факта приводится в § 3). что операторы Я и ,/ суть младшие по степеням д члены уравнений (2.6) -
(2.7).
Таким образом, задача приобретает следующую формулировку: доказать существование малых по норме нетривиальных решений системы уравнений (2.6) - (2.7) в классах функций V5, « > 1. Оператор «нормальная производная» А'(д, С) определяется из задачи (2.5), нелинейные правые части Я и 1 — формулами (2.8) и (2.9).