Задача о бифуркации с интегральными ограничениями

• Автор: Виридис Панагиотис
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 106 с.

Оглавление
Введение
1 Вариационная задача о бифуркации с ограничениями
1.1 Элементы теории бифуркации
1.2 Схема расщепления Ляпунова - Шмидта
1.3 Задача о бифуркации со связью
2 Функциональные пространства и примеры ограничений
2.1 Формулы интегрирования по частям
2.2 Функциональные пространства
2.3 Примеры ограничений
3 Краевые задачи теории бифуркации с ограничениями
3.1 Вариационная задача о бифуркации на плоской кривой
3.2 Вариационная задача о бифуркации в плоской области
3.3 Вариационная задача о бифуркации на двухмерных поверхностях в трёхмерном пространстве
Литература

Введение
Классическая задача о бифуркации имеет следующую постановку. В некоторой окрестности и нуля банахова пространства Л” и для всех значении числового параметра Л задается отображение
/ : и х Е —* У, где У- некоторое банахово пространство. Считается, что
/[О, А] = О
для всех А. Точкой бифуркации называется такое число А0, что в любой сколь угодно
малой окрестности точки (0, Ао) пространства X х К существует решение задачи
/М] = 0 (1)
с х ф 0.
Для дифференцируемого отображения / необходимым условием бифуркации является требование
оператор /*[0, А] не является изоморфизмом пространств Л' и У. (2)
Классический пример
Л'=У = М2, х = (хьх2), /[я, А] — (/^ж, А], /2[ж, А]),
Л[ж,А] = Ххх - х®, /г[х,А] = х2 +х
показывает, что необходимое условие не является достаточным: А = 0 удовлетворяет необходимому условию, но единственным решением задачи /[х, А] = 0 является х = 0.

Введение
Развитие теории бифуркации нелинейных уравнений диктуется, в основном, нуждами прикладных задач. Многочисленные примеры таких задач содержатся, например в сборнике [20].
Одной из первых работ по теории бифуркации следует считать работу А.М. Ляпунова [8], посвященную фигурам равновесия вращающейся тяжелой жидкости и работу Е. Шмидта [23] о бифуркации для нелинейного интегрального уравнения. В данных работах рассматривалось нелинейное интегральное уравнение, в котором ответвляющееся решение искалось в виде некоторого ряда. Техника такого разложения в конечномерном пространстве восходит к работе Ньютона [10] о теореме о неявных функциях при вырождении матрицы Якоби. Такой подход к задаче бифуркации естественно назвать подходом, основанным на дифференциальных свойствах отображения /. Его классические результаты прекрасно изложены в [2]. В случае несильного вырождения оператора /[х, Ао] вместо диаграммы Ньютона для получения достаточного условия бифуркации естественно применять лемму Морса. Данный подход изложен, например, в [9]. Классификация возможных вариантов бифуркации для отображений "общего положения", основанная на теории катостроф, дана в [15].
Подход, основанный на дифференциальных свойствах отображения /, обладает существенным недостатком. При его применении к конкретным задачам требуется слишком хорошо знать свойства оператора /х[0, Ао]. Исключением является случай, когда ядро оператора /ДО, Ао] одномерно, а его образ - замкнутое подпространство единичной коразмерности. В этом случае достаточное условие бифуркации имеет простой вид и, как правило, допускает проверку. Однако простота собственного числа - вещь исключительная и выполняется всегда лишь для задачи Штурма-Лиувилля для оператора второго порядка с определенными граничными условиями. Тем не менее, с помощью этого метода удается разобраться с бифуркацией даже в ряде нестандартных задач, например, в задачах в переменных областях [21, 22] и в задачах со свободной поверхностью [14, 16].
При наличии дополнительной информации об отображении / можно значительно ослабить требование на плохо проверяемые свойства оператора /ДО, А0]. Если для /
Глава 2. Функциональные пространства я примеры ограничений

определяет норму в пространстве Wf (Г) эквивалентную стандартной.
Доказательство. Выражение (2.13) билинейно, симметрично и неотрицательно. Легко проверить условие невырожденности. Из тождества (и, и) = 0 сразу следует, что и = 0. Таким образом выражение (2.13) задаёт скалярное произведение в Й/22(Г).
Докажем его эквивалентность стандартному скалярному произведению. Фиксируем семейство функций

ъ 6 С“(£4), 7*(я) > о, а: € Uk, ^7t(x) = х е Г-

Пользуясь соотношением
7kSiSiU = S;S;(%ll) - 2S;%5;U - uSi8t% ,
получаем
N r „ N г
F2{u) = 5Z ( / b^l2 + / 17И2 ^s) =У)2( I [örfihku) - 28{Jköpi - ифф7*]х
k=1 p p fr=l £
х[фф(7А-и) - ^Sf jkSjU - uSjSjjk} ds + Jyku2ds). (2.15)

С помощью замены координат (2.12) сделаем пересчёт производных, для определённости считая = Х:
д д , 3 д 0д
дх] дух +П 9,1/2 : дх2 П ду-2 ’
• д ,. д 1 д , 2 9 . 1 9 ./ 1 2 / 22i 9 1 9
п]—=п — + И1—) + я2(п2—) = я1 — + я1)2 + (я2)2 — = п — + — , 9 з: j дух дуД дуД дух ду2 дух ду
б,=4-+п'4--п'(п'Д+Д)=11-wy]2-=[пу±,
дуг дуъ дуг дуч dyi dyi
г 9 д 9 / 1 ^ д 19^
ф = п2- п (п —- + —) -~пп
9 г/2 дух 9 г/2 йух
Поэтому
Ф = (Фт - я’я1)-^-, г = 1,2, дух
ФФ —- ФФ + ФФ — АДя)^- + Л2(я)—2 ,

, Ь А2(п)—"
dyi dyf