Аналитические методы решения нелинейных операторно-функциональных уравнений в нерегулярных случаях

• Автор: Труфанов, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 135 с.

Оглавление
1 Аналитические решения линейных разностных операторных уравнений с полиномиальной правой частью.
1.1 Регулярный случай, оператор А — кВ непрерывно обратим.
1.2 Нерегулярный случай, оператор А — кВ фредгольмов.
1.2.1 Оператор С не имеет ^-присоединенных элементов
1.2.2 Оператор С имеет Б-жорданову цепочку длины р
1.2.3 Оператор С имеет полный 5-жорданов набор.
1.3 Случай нескольких разностных ФВА в уравнении с полиномиальной правой частью.
1.3.1 Регулярный случай.
1.3.2 Нерегулярный случай.
2 Операторные уравнения с ФВА нейтрального типа
2.1 Линейные операторные уравнения с простейшим ФВА нейтрального типа.
2.1.1 Уравнения с постоянными коэффициентами.
2.1.2 Уравнения с переменными операторными коэффициентами.
2.2 Линейные операторные уравнения с аналитическим ФВА нейтрального типа.
2.3 Линейные операторные уравнения с несколькими ФВА нейтрального типа

2.4 Линейные уравнения с ФВА с необратимым оператором
при старшем члене
2.4.1 Разложение банаховых пространств, (Р, <5)~ коммутируемость линейных операторов.
2.4.2 Редукция сингулярного уравнения с ФВА к регулярным задачам.
2.5 Продолжение решений линейных операторных уравнений
с ФВА.
2.6 Квазилинейные операторные уравнения с ФВА.
2.7 Квазилинейные операторные уравнения с несколькими ФВА.
2.8 Метод диаграммы Ньютона для уравнений с ФВА
3 Приложение: Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра I рода с ФВА.
3.1 Обобщенные решения нелинейных интегральных ур-й Вольтерра I рода.
3.1.1 Определение сингулярной составляющей.
3.1.2 Определение регулярной составляющей.
3.1.3 Решение интегро-функционального уравнения
Вольтерра с ФВА.
3.2 Решение систем интегральных уравнений Вольтерра I рода
с ФВА.
3.2.1 Определение сингулярной составляющей.
3.2.2 Определение регулярной составляющей.
3.2.3 Исследование полного уравнения с ФВА.

Введение
Теория уравнений с функционально измененным аргументом получила бурное развитие в XX веке. Наиболее широко изученным классом таких уравнений являются разностные уравнения. Наряду с обычными разностными уравнениями большой интерес представляют дифференциально-разностные уравнения, интегро-функциональные и операторно-функциональные, т.к. они имеют ряд физических приложений.
Периодом интенсивного развития теории разностных и дифференциально-разностных уравнений является вторая половина XX века. В этот период было опубликовано наибольшее количество работ, посвященных таким уравнениям. Важные результаты и обширная библиография есть в работах и монографиях Эльсгольца Л.Э. [52],[53],[54], Зверкина А.М.[15],[16],[17], Халаная А[46],[47],[48], Веллмана Р.[5],[6], Васильевой А.Б.[11],[12],[13], Каменского Г.А[18],[19], Норкина С.Б.[23], Азбелева Н.В.[1],[2],[3], Скубачевского
A.Л.[36],[37],[38], Мышкиса А.Д. [22], Шарковского А.Н. [49], Шевело
B.Н. [50], Черепенникова В.Б. [51] и др. В последнее время большой вклад в современную теорию функционально-дифференциальных уравнений внесли Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф, Скубачевский А.Л. и др. Несмотря на такой всплеск интереса к разностным и разностно-дифференциальным уравнениям, некоторые проблемы решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений являются открытыми и сейчас.
Наряду с теорией дифференциально-разностных уравнений

Л3 = — Х2, пространства Е = ^[О, ту], Е2 — С[О, ту]. Пусть Ах + Л2 ^
п2,п 6 N. Тогда оператор А — А2 — Л3 будет непрерывно обратимым.
Исходя из структуры правой части решение будем искать в виде
и(г, х) = щ(х) + щ(х)г. (1.3.7)
Подставив (1.3.7) в уравнение (1.3.6) получим равенство
У] (хщ(х)гг + -^щ(х)(г + а)1 + Х2щ(х)(г + Ь)г) = У Рг(х)г
г=0 г=
(1.3.8)
Начнем искать коэффициенты решения с коэффициента щ(х), стоящего при наибольшей степени г. Уравнение для определения и(х) примет вид

^щ(х) + (Лх + Х2)щ(х) = Р{х). (1.3.9)
Уравнение (1.3.9) сопровождается однородными граничными условиями.
Будем далее рассматривать наиболее простой регулярный случай, поэтому Х + Х2 ф п2, п € N. Тогда условия леммы 1.3.1 выполнены и единственное решение уравнения (1.3.9) представимо в виде

и(х) — J С(х, з)Р1(з)с1з, о

1 I вгп((тх)згп(а(ту — в)), О < х < б
0(х, в) = —: г <
автуспу) I Згп(а(ту — х))зт(сгз), я < х < ту
ф)ункция Грина, где а = л/Лх + Аг-Уравнение для определения щ(х) имеет вид

4- (Лх + А2)и0(ж) = Р(х) - а-^щ(х) - ЪХ2щ(х), (1.3.10)
с граничными условиями щ(0) = ■ио(тг) = 0 и поэтому функция щ(х) тоже определяется единственным образом. Таким образом, исходное уравнение (1.3.6) имеет единственное решение в виде (1.3.7).