Краевые задачи для нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка

• Автор: Шевякова, Ольга Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 91 с.

Вводные сведения

1 Уравнения порядка меньше либо равного единице с операторами ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ С РАЗЛИЧНЫМИ НАЧАЛАМИ 25 § 1. Уравнение с производными Римана-Лиувилля. Постановка
задачи

§ 2. Формулировка результатов и решение задачи

§ 3. Задача для уравнения с производными Капуто

2 Задачи для уравнений с оператором дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом 38 § 1. Постановка задачи для уравнения порядка меньше единицы 38 § 2. Доказательство существования и единственности решения 40 § 3. Уравнение с оператором дробного дифференцирования с

фиксированными началом и концом порядка меньше двух

§ 4. Уравнение произвольного порядка

§ 5. Уравнение с производной Капуто

3 Теоремы единственности для уравнений дробного порядка

§ 1. Свойства положительности операторов дробного интегрирования и дифференцирования
§ 2. Единственность решения уравнения с частными производными дробного порядка с различными началами в главной
части
§ 3. Задача для уравнения с отрицательными коэффициентами
Заключение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка, кроме огромного теоретического интереса, имеют большое практическое значение.
Физики достаточно давно и плодотворно используют идеи дробного исчисления преимущественно во фрактальных средах [5], [6], [38]—[40], [43], [44]. Дифференциальные уравнения дробного порядка встречаются при описании медленных и быстрых стохастических процессов, диффузии в средах с фрактальной геометрией, при изучении деформационнопрочностных свойств полимерных материалов [79], [92]. Полученные при этом результаты говорят о существовании мощного метода, каким является дробное исчисление при построении математических моделей в тех средах, где классическое дифференциальное исчисление не работает. Особый интерес к дробным производным проявляют гидрогеологи в связи с вопросами безопасности хранения высокоактивных долгоживущих радиоизотопов в геологических фармациях [20]—[23].
Основой большинства моделей, описывающих физические и химические процессы, протекающие во фрактальных средах, экономические и социально-биологические явления [56], [61], [64], [65], [78], являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является

случае 1 < 7 = а < 2, используются численные методы.
Сформулируем задачу для уравнения (2.35).
Задача 2.2. Найти решение и — и(х,у) уравнения (2.35),
0 < (3 < 1, 1 < а < 2, в области 12, удовлетворяющее краевым услови-

imx(2~a)/2u{x, у) = <р(гу), 0 < у < Ь, (2.37)
x-MJ
lim(a - хУ2~а^2и(х,у) = ф(у), 0 < у < Ь, (2.38)
х-)а
lim D^1u(y) = 50, (2.39)
?/—XJ
где <р(у), ф(у) - заданные функции, Регулярным решением уравнения (2.35) в области 12 будем называть решение и = и(х, у), такое, что у1~^[х(а — т)]^2_<'*^2д(а;, у) € С(Г2) ,
0,1
Пусть
<й(!/)еС(0,6),
= а"= („.2)/гв f а 0 + 2
2 Г(а +1) cos (f) V2 2 )' к J
А = A/Aq, G(y) = { Справедлива следующая
Теорема 2.2. Пусть 0 < /3 < 1, 1 < а <2, p(y),4>(y) € С[0,Ь]. Тогда в области 12 уравнение (2.35) имеет единственное регулярное решение, удовлетворяющее краевым условиям (2.37)-(2.39). Это решение