Аттракторы и интегральные многообразия нелинейных эллиптических и параболических уравнений

• Автор: Шаповал, Александр Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 94 с.

Введение
Диссертация посвящена построению аттракторов и интегральных многообразий эллиптических и параболических уравнений. Исследуется поведение решений заданного в цилиндрической области нелинейного эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной, взятой вдоль оси цилиндра. Установлены теоремы о сходимости аттракторов и интегральных многообразий указанных уравнений к аттрактору и, соответственно, интегральному многообразию предельного параболического уравнения.
Теория аттракторов бесконечномерных динамических систем быстро развивается в последние десятилетия. Для задач математической физики, имеющих единственное решение, построены максимальные аттракторы, элементами которых являются точки фазового пространства этих задач ([2], [28], [29]). Книга [29] содержит систематическое изложение теории аттракторов неавтономных уравнений с частными производными. Для построенных аттракторов получены оценки их фрактальной и хаусдорфовой размерностей ([2], [21], [22], [28]).
Аттракторы эволюционных уравнений могут иметь сложную структуру, которую трудно описать. Поэтому представляет интерес построение конечномерных инвариантных многообразий, экспоненциально притягивающих все траектории динамической системы. В работах [19], [24], [25], [27], [30] при выполнении некоторых спектральных условий изучены инвариантные многообразия автономных динамических систем, соответствующих параболическим и эллиптическим уравнениям. В неавтономном случае такие многообразия называются интегральными многообразиями. Интегральное многообразие эллиптического уравнения в полосе исследовано в работе [31].

Для некоторых задач математической физики не доказана до сих пор или не имеет места теорема единственности их решений. В этом случае строится траекторный аттрактор заданного уравнения, элементами которого являются траектории динамической системы. Траекторный аттрактор трехмерной системы Навье-Стокса исследован в [23] и [32].
Примером динамической системы, решения которой существуют, но, вообще говоря, не единственны, является эллиптическое уравнение
д2и — 2bdtu + А и — /(«, t) = д(х, t), (0.1)
рассматриваемое в цилиндре Г2+ = и> х БД, х G и>, t £ БД, где и) — ограниченная область в R”, а БД = [0, +оо). На границе области ставятся условия
ula„ = °> 4=о = и»- <°'2>
Кроме того задается некоторое условие ограниченности решений задачи (0.1), (0.2) при t —> +оо. Задача вида (0.1), (0.2) изучена в книгах [5], [7], [8]. Её траекторный аттрактор построен в работе [4].
В главе 1 настоящей работы исследуется эллиптическая система уравнений с малым параметром е
е2д2и — 2 bdtu + А и — f(u, t) — д(х, t) (0.3)
при граничных условиях (0.2). Здесь и = (и1
f(v,t).v > -Къ v € Kw, /; > 0, (0.4)
| f(v, t)| < K2vp + _К3, р< п/(п - 2), (0.5)

где К1, К2, — положительные константы, а у/ш — скаляр-
ное произведение в К™ векторов уши). Правая часть д имеет конечную норму
Предполагается, что граничная функция щ лежит в пространстве бє, которое определяется следующей нормой:
где Нр - (б’,р)-пространства Соболева.
Чтобы определить класс рассматриваемых решений уравнения (0.3) введем пространство Ле(Ог), состоящее из функций (ж, £), равных нулю на границе области со, у которых конечна норма
МІЛЛОД = £2||11(ЫВДГ + ІІЗДк-МадГ + ІІдІІ(Ь2(адГ-
(0.8)
Заметим, что формула (0.7) задает эквивалентную норму в пространстве следов НЛе(Оо) пространства Ле(О0) при 1 = 0, то есть Vу? 6 бе выполнено неравенство
константы С и С2 не зависят от е.
Под решением задачи (0.3), (0.2) понимается обобщенное решение и, имеющее конечную норму
Ы.у = 8ир || (0.0)
ТЄК+
где Пт = ш х [Т, Т + 1].
»ир ІНІЛДПт) < °°-
(0.9)
т> о

равенства
К(и, i)»|| < Мо(||и||2) ||t)||v, Vu, 6 V, e К, (2.3)
11ЩМНа_* < AfidHIa) INI». V«,« € V,te R, (2.4)
||(F(u,i + «) - F(u,t))b_2ß (2.5)
где M,-(-), i = 0,1,2 - монотонно возрастающие функции.
Непрерывно дифференцируемую на [т, оо) функцию u(t) со значениями в V назовем решением уравнения (2.1) при начальном условии
wlt=r = иUr е (2>6)
если u(t) лежит в пространстве V, удовлетворяет уравнению (2.1) для любого f > т, и выполнено начальное условие (2.6).
Предположим,что задача (2.1), (2.6) имеет единственное решение u(t) для любого ит € V.
Пусть {U(f, т), I > т} — процесс, соответствующий уравнению (2.1), то есть {U(t,r)} — это двухпараметрическое семейство операторов, которое обладает следующими свойствами: и(1,т)и(т) = u(f), Vf > т, где u(f) — решение уравнения (2.1) и t/(f, г) = C/(f, s)U(s,t) для любых т < s < t.
Предполагается, что процесс {£/(£, г)} обладает ограниченным в V поглощающим множеством, то есть существует шар Bq° С V с центром в нуле и радиусом р0 такой, что для любого ограниченного множества В С V ЗТ = Т(В) > 0:
U(t + г, т)В С В£° Vf > Т т е Ж.
Пусть q : Ж+ -ч [0,1] — срезающая функция, такая что q € С2(Ж+), suppg С [0,2], q(s) = 1 при 0 < s < 1. Фиксируем