Асимптотические свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малой нелинейностью

• Автор: Крыжевич, Сергей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 120 с.

Содержание
Введение
1 Определение, свойства и некоторые примеры слабо
гиперболичных и полугиперболичных систем
1.1 Полугиперболичные системы
1.2 Линейные неоднородные системы, имеющие экспоненциально убывающее решение
1.3 Примеры слабо гиперболичных систем
1.4 Свойства систем, обобщенно приводимых к гиперболичным на некотором семействе отрезков
2 Условная устойчивость нулевых решений систем со
слабо гиперболичной линейной частью
2.1 Зависимость условной устойчивости от порядка малости нелинейного возмущения
2.2 Некоторые следствия теоремы
2.3 О возмущениях, липшицевых по фазовым переменным
2.4 Условная устойчивость и обобщенная приводимость
2.5 Поведение решений возмущенной системы,
начинающихся вне устойчивого многообразия

3 Некоторые необходимые и достаточные условия сохранения характеристических показателей
3.1 Связь между центральными показателями линейных систем и устойчивостью нулевых решений возмущенных систем
3.2 Критерий условной неустойчивости
3.3 Условия упорядоченной диагонализуемости
линейных систем
3.4 О сохранении некратных показателей при экспоненциально малых возмущениях
Заключение
Литература

Введение
Проблема условной устойчивости по первому приближению является одной из основных в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты, полученные в этой области, имеют широкое применение при решении практических задач.
Сформулируем основную задачу, решаемую в настоящей работе. Рассматриваются линейная система
размерности п с кусочно-непрерывной при t £0 матрицей коэффициентов и нелинейная гладкая по х вектор - функция /(Сж), обращающаяся в 0 при х = 0. Выясняется, каким условиям должны удовлетворять система (0.1) и возмущение /, чтобы пространству размерности к, состоящему из всех решений системы (0.1) с характеристическими показателями, меньшими некоторого заданного числа а, соответствовало к - мерное многообразие начальных данных, определяющих решения системы
имеющие характеристические показатели, меньшие некоторого числа (3.
Основополагающие результаты в этой области были получены Ляпуновым [26] и Перроном [62]. А.М. Ляпунов в своей знаменитой диссертационой работе доказал теорему об условной устойчивости нулевого решения системы (0.2) в случае, когда система (0.1) является правильной, а функция /(£, х) при любых 3 Ц удовлетворяет условию гП,0) — 0 и равномерно аналитична по х в цилиндре
х = А(Ь)х
(0.1)
х — А(£)ж + /(£, х),
(0.2)
Я = [*„, ос1) х и С К. х М1

Теорема (А. С. Фурсов). Сист.ема (0.4) при любом д <Е F£ имеет хотя бы одно решение с характеристическим показателем, не большим а, тогда и только тогда, когда существует такой базис пространства решений системы (0.1), для которого соответствующая перроиовская диагональ удовлетворяет, при каждом, i = 1
1 < 1 t
1. lim inf - f a;(r) dr ф а, если lim sup - f афт) dr > ct.
1 110 t-yсо t u,
2. а ф (r(a,i),R(ai)).
Из этой теоремы в работе [-57] было получено важное следствие.
Теорема (А. С. Фурсов). Для того, чтобы при любом g(t) у системы (0.4) существовало решение необходимо и достаточно, чтобы система (0.1) была правильной.
Обозначим
7а(А) = sup inf
geFp veEg(A)
Следующий результат был получен в статье [58].
Теорема (А. С. Фурсов). Для любой системы (0.1) с ограниченной матрицей коэффициентов и любого вещественного числа а имеет место следующее соотношение:
а Ъ:(А) l1)-
Отметим, как связаны результаты, приведенные выше, со свойством слабой гиперболичности.
Предложение. Пусть Х,е > 0. Система (0.1) принадлежит классу WH(A,e), если 7ДА) < —А, где р. = —А(1 + е).
Обратно, если 7ДА) > —А, то рассматриваемая система не является слабо гиперболичной с данными константами.