Разрешимость начальных и обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными

• Автор: Манаенкова, Татьяна Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 99 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. Вспомогательные сведения и обзор результатов
1. Исторический обзор
2. Специальные функции
3. Дробные интегралы и производные
4. Полугруппы и производящий оператор
5. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве
6. Формулировка основных результатов диссертации
Глава 2. Абстрактные дифференциальные уравнения, содержащие дробные производные Римана-Лиувилля
7. О разрешимости задачи типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля
8. Операторная функция Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля
Глава 3. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Ада-мара
9. Задача типа Коши с дробной производной Адамара
10. Обратная задача
11. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего
две различные дробные производные Адамара
Список литературы

Глава
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Исторический обзор
Математический анализ с использованием интегрально-дифференциальных операторов нецелых порядков зародился уже более 300 лет назад. Еще в 1695 году Лопиталь и Лейбниц в своей переписке обсуждали значение производной порядка 1/2. Запись Лейбница стала основанием появления теории производных и интегралов произвольного порядка, которые к концу 19 века приняли более или менее окончательную форму благодаря, в основном, Лиувиллю Ж., Грюнвальду Г., Летникову A.B. и Рима-ну Б. Обзор по истокам теории дробного исчисления может быть найден в [58], [60], [37].
В последние четыре десятилетия дробное исчисление окончательно сформировалось в специальный раздел математики, что связано в основном с увеличением его прикладного значения. Особый интерес к дробному исчислению был вызван развитием теории моделирования, которая требовала более совершенного аппарата, описывающего изучаемые объекты. Стало ясно, что классический аппарат математического анализа (интегро-дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных) не способен учесть различные погрешности, которые чаще выражаются степенями нецелых порядков. Это и привело к необходимости применения производных и интегралов, порядки которых могут быть дробными, иррациональными и комплексными.
Кроме того, дробные производные предоставляют превосходный инструмент для описания запоминающих устройств и наследственных свойств различных материалов и процессов. Это главное преимущество дробных производных в сравнениии с целочисленными классическими моделями, в которых этот эффект игнорируется.
Дробные производные и интегралы также применяются в теории управления динамическими системами, когда система управления описывается дробным дифференциальным уравнением.

Развитию теории интегро-дифференциальных уравнений и специальных функций математической физики способствовали такие области современных приложений дробного исчисления, как диффузионные перемещения близкие диффузии, электросети, вероятность и статистика, вязкоупругость, электрохимия коррозии, оптика, задачи о потоках жидкостии т.п.
Одна из первых работ, посвсщенная исключительно систематическому представлению идей, методов и приложений дробного исчисления, — это книга "The fractional calculus" Oldham К.В. и Spanier J. [60], опубликованная в 1974 г. Позже появились некоторые фундаментальные работы о различных аспектах дробного исчисления, включая монографию энциклопедического типа, написанную Самко С.Г., Килбасом A.A. и Мариче-вым О.И. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения" [37], которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов. Сюда можно отнести работы Горенфло Р. и Весселя С. [49], МакБрайда A.C. [56], Миллера К.С. и Росса Б. [58] и обзор Россихина Ю.А. и Шитиковой М.В. [65], Нахушева
А.М. [31], Псху A.B. [35].
В вышеуказанных монографиях и статьях можно найти различные приложения дифференциальных уравнений дробного порядка в физике, механике, химии, инженерии и других областях науки и естествознания с библиографией работ в этих отраслях.
Книга Капуто М. [45], опубликованная в 1969 году, в которой системно применяется его оригинальное определение дробного дифференцирования для формулировки и решения задач вязкоупругости и его лекции по сейсмологии, также должны быть включены в этот список.
Отметим и книгу Подлубного И. [62], опубликованную в 1999 г., которая посвящена главным образом дробным дифференциальным уравнениям. И, конечно, книгу [54] авторов Kilbas A.A., Srivastava H.М., Trujillo J.J., в которой представлена теория и приложения дробных уравнений.
Кроме того, сейчас издается ряд международных журнала, целиком посвещенных только предмету дробного исчисления, например, "Journal of Fractional Calculus "Fractional Calculus and Applied Analysis"и др.
Приводимый далее обзор использованных в диссертации результатов заимствован из [37], [54], [20], [35], [25].
Определение 7.3. Интегральное уравнение (7.3) называется равномерно корректным, если для каждого щ G D{A) существует единственное решение u(t;uo) G С(К+,£)(Л)) этого уравнения и если щ^т G D(A), UQjn —> 0 влечет сходимость и(ф',щ:ГП) —> 0 равномерно по t на любом компактном интервале из (0, оо).
Определим разрешающий оператор задачи (7.1), (7.2).
Определение 7.4. Операторная функция Ta(t) G В(Х) называется разрешают,им оператором для задачи (7.1), (7.2), если выполнены следующие условия:
(i) Ta(t) сильно непрерывна при t > 0 и И^пТа(0) = I,
(ii) Ta(t) коммутирует с А, то есть, Ta[t)D{Ä) С D{A) и ATa(t)u0 = Ta(t)Auo для любого щ G D{A) и t > 0,
(iii) Та(Ь)щ является решением задачи (7.1), (7.2) для любого щ G D(A) и t > 0.
Определение 7.5. Будем говорить, что оператор А принадлежит классу Qa(M,oj), если задача (7.1), (7.2) имеет разрешающий оператор TQ(t), удовлетворяюьищй неравенству
\Ta(t)\^M(t)eut, t> 0, (7.4)
где из G К и функция M(t) G С(0,оо) и абсолютно интегрируема на интервале (0,оо).
Отметим, что определение 7.5 превращается в определение 5.2, если M(t) = постоянная М0 > 0.
Пусть A G Ça(M,uj) и Ta(t) — соответствующий разрешющий опера-
тор. При Re Л > и; определим преобразование Лапласа для разрешающего оператора

#„(.Л) = L[Ta(t)}() = I e~MTa(t) dt.

Учитывая оценку (7.4), можно утверждать, что На(Х) G В(Х). Используя свойства (ii) и (iii) определения 7.4 и тождество (3.23), после преобразования Лапласа из (7.1), (7.2) получим следующие соотношения:
А“Яа(Л)'ц0 - Ап_1г*0 = АНа()щ, щ G X;
ХаНа(Х)ио — Хп = На(Х)Ащ, щ G D(A).
Лемма 7.1. Пусть A G Qa{M, lu), тогда оператор (Аа1 — А) об-
ратим и На(А) = АП_1Й(А“, Л), то есть, множество {Аа : Re А > ш}