Обратные задачи для гиперболических уравнений

• Автор: Валитов, Ильдар Русланович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Обратные задачи для гиперболического уравнения

с интегральным переопределением

§1.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации и данными Дирихле
§1.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении и данными Дирихле
§1.3. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом и данными Неймана
Глава 2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с внутренним переопределением
§2.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации
§2.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении
Глава 3. Обратные задачи для гиперболического уравнения с граничным переопределением

§3.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации
§3.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении
Дополнение
Заключение
Библиографический список

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Именно нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений и будут изучаться в настоящей работе. Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, С.И. Кабанихи-на, А.И. Прилепко, А.Х. Амирова, Е.Г. Саватеева, Е.С. Глушковой, Д.И. Глуш-ковой, Т.Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, A.M. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Ямамото - см. монографии [11], [21], [24], [44] - [49], [55] - [59], [64], [71] -[73], [76], [77], [79], [81] и имеющуюся в них библиографию, а также статьи [1] - [3], [5] - [9], [14] - [16], [25], [26], [50], [65], [67], [69], [70], [82], [83], [88]. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с исполь-

Условия теоремы и неравенства (1.21) и (1.22) означают, что для решений и(х,Ь) краевой задачи (1.7), (1.2), (1.3) выполняются равенства
(?1 {(р{Ь,и)) = 1р{г,и), С2(‘ф(Ь,и))*='ф(г,и), Щ,и) = д(*,и).
Очевидно, что функция д(£,«) будет неотрицательной и ограниченной сверху на отрезке [О, Г] функцией. Далее, очевидно, что для решений краевой задачи (1.7), (1.2), (1.3) будет выполняться априорная оценка
с постоянной Мд, определяющейся числами то, та, До, Дь АД ~ М4 и функциями К{х,Ь) и /(ж, £).
Итак, нами доказано: существует функция иЕ(х,Ь) являющееся решением краевой задачи (1.6), (1.2), (1.3) и такая, что для семейства функций {ие(ж,£)} выполняются равномерные по е априорные оценки (1.10), (1.18), (1.19) и (1.23). Из данных оценок, а также из теорем о вполне непрерывности вложений Иф2(Ф) —> 1А/21((5), И'ДР) —» Ь2{дС}) и о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду, вытекает, что существуют последовательности {ет} положительных чисел и функция и(х,£) такие, что при т —* оо имеют место сходимости ет —> 0, иЕт(х, С) —> и(х, £) слабо в пространстве Иф2(<5), и£т(х, 4) —> и(ж, 4), ит{х, I) —> и4(ж, £) почти всюду в (3, гф'ДОД) —» «ДО, £), и®т(1,£) —> «Д1,£) почти всюду на отрезке [0,Г], ет«(ж,£) —> 0 слабо в пространстве 1/2(<т?). Из указанных сходимостей следует, что для предельной функции и(х, I) будет выполняться уравнение (1.5). В этом уравнении второе и третье слагаемые принадлежат пространству ДДО,Г;ЬИ)) — это следует из оценок (1.10), (1.18) и (1.19). Поскольку правая часть в уравнении (1.5) также принадлежит пространству

(1.23)