Асимптотическое при больших временах поведение решений некоторых аналогов уравнения Кортевега-де Фриза

• Автор: Казейкина, Анна Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
ГЛАВА 1. Асимптотическое поведение решений уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса
1.1. Существование бегущей волны
1.1.1. Постановка задачи. Предварительные замечания
1.1.2. Достаточные условия существования и монотонности бегущей волны
1.1.3. Сведение задачи к изучению поведения траектории динамической системы
1.1..4. Примеры отсутствия бегущей волны
1.1.5. Достаточные условия существования бегущей волны
1.2. Устойчивость бегущей волны
1.2.1. Обозначения, вспомогательные утверждения и предположения.
1.2.2. Устойчивость монотонной бегущей волны
1.2.3. Устойчивость немонотонной бегущей волны
1.3. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения КдФБ
ГЛАВА 2. Асимптотическое поведение решений уравнения Веселова-Новикова
2.1, Постановка задачи
2.2. Задача рассеяния для двумерного уравнения Шредиигера
2.2.1. Положительный уровень энергии
2.2.2. Отрицательный уровень энергии
2.2.3. Нулевой уровень энергии
2.3. Асимптотическое поведение решения уравнения Веселова-Новикова
2.3.1. Положительный уровень энергии
2.3.2. Отрицательный уровень энергии
2.4. Существование/отсутствие солитонов для уравнения Веселова-Новикова
2.4.1. Положительный уровень энергии
2.4.2. Отрицательный уровень энергии
2.4.3. Нулевой уровень энергии
Заключение П27
Список литературы
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Уравнение Кортевега-де Фриза
Уравнение Кортевега-де Фриза
'И/ -|- 6иих -р иХхх = О,
выведенное в конце XIX века как уравнение длинных волн на мелкой воде. привлекло широкий интерес исследователей во второй половине XX века после того, как в 1.967 г. Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой был открыт точный метод интегрирования данного уравнения при помощи задачи рассеяния для стационарного уравнения Шредингера ([48]). Было продемонстрировано, что если уравнение КдФ записать в терминах данных рассеяния для стационарного уравнения Шредингера с потенциалом и(хЛ), зависящим от дополнительного параметра £. то уравнение КдФ принимает вид совокупности невзаимодействующих линейных осцилляторов. Таким образом, задача об интегрировании нелинейного дифференциального уравнения была сведена к последовательности линейных задач; кроме того, было показано, что преобразование рассеяния для решения уравнения КдФ играет такую же роль, как преобразование Фурье при решении линейных дифференциальных уравнений.
Точный метод интегрирования уравнения КдФ позволил дать исчерпывающий ответ на вопрос об асимптотическом поведении его решений (см. [49], [68], [15]). Было показано, что любое быстроубывающее решение уравнения КдФ ведет себя при больших временах как совокупность N солитонов (соответствующих N собственным значениям оператора Шредингера с потенциалом и(х, 0)), взаимодействующих с сохранением, формы.
Алгебраическая природа интегрируемости уравнения КдФ была вскрыта П.Лаксом ([59]), который показал, что уравнение КдФ можно записать как

З. Фтіп + --{и* — U-) > 0. В полуполосе р Є [и-,и*],ф < 0 выполнено
а > Ь. Значит, траектория лежит выше прямой ф = + Ь(и — и ) и
пересекает ось <р в точке и < и*.
Итак, траектория 51 пересекает ось р в точке й < и>. Покажем теперь, что из этого следует, что траектория 8 стремится к (п_, 0) при а —> — оо.
Действительно, проводя рассуждения аналогичные утверждениям 3, 4, получаем, что ф(в) Фтах) где ( стемы, видим, что при s —> —оо траектория S либо стремится к точке (гь_, 0), либо покидает полосу {р G (и,иф,ф > 0} через прямую р
В полосе {р G {и+. U-), ф > 0} траектория убывает по координате ф. Кроме того, она не может пересечь прямую р — и+ и не может стремиться к точке (и+,0) при s —> +оо (см. лемму 2). Значит, либо S стремится к точке («_, 0), либо покидает полосу {р G (и+, и-),ф > 0} через прямую {ф = 0} в некоторый момент s. В последнем случае участок траектории S, соответствующий значениям параметра s G (s,-foc) и отрезок {р G [и+,р(з)],ф = 0} ограничивают “мешок Бендиксона” (см. рис. 1.9).
Воспользуемся теперь критерием Бендиксона для доказательства отсутствия предельных циклов. Для системы (1.16) дивергенция поля имеет вид
на всей плоскости. Значит, согласно критерию Бендиксона (см. [2] §12, п. 3, а также результат §4, п. 6) у системы не существует предельных циклов. Следовательно, при .§ —> —оо траектория 5 стремится к точке (гі_, 0).
иє(и_,и*)