Полиномиальные дифференциальные системы на плоскости : прямолинейные изоклины, оси симметрии, особые точки на экваторе сферы Пуанкаре

• Автор: Ушхо, Адам Дамирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Майкоп
• Количество страниц: 138 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Прямые изоклины квадратичных и кубических дифференциальных систем на плоскости

1.1. Некоторые общие теоремы о прямых изоклинах полиномиальных систем

1.2. Оценка сверху числа параллельных между собой прямых изоклин кубической системы

1.3. Оценка общего числа прямых изоклин кубической системы

1.4. Изучение поведения кубической системы, имеющей инвариантные прямые максимального числа различных направлений

Глава 2. Оси симметрии поля направлений квадратичных и кубических

систем

2.1. Оси симметрии М-типа полиномиальных дифференциальных систем на плоскости

2.2. Оси симметрии Б-типа полиномиальных дифференциальных систем на плоскости
2.3. Качественное исследование квадратичных и кубических систем, имеющих оси симметрии N и 5-типа
Глава 3. Особые точки кубической дифференциальной системы на экваторе сферы Пуанкаре
3.1. Особые точки кубической системы на экваторе сферы Пуанкаре. Случай, когда экватор сферы Пуанкаре состоит из траекторий системы
3.2. Особые точки кубической дифференциальной системы на экваторе сферы Пуанкаре. Случай, когда экватор сферы Пуанкаре не содержит целой траектории, отличной от состояния равновесия
Заключение
Список литература
Приложение

Введение
Несмотря на бурное развитие вычислительной техники и численных методов, качественные методы интегрирования динамической системы
% = Р(.Х,У), ^- = Q(x,y), (0.1)
dt dt
где Р(х,у) и Q(x,y) — аналитические функции в области Dez R2, не потеряли своей актуальности и в настоящее время. Это связано с тем фактом, что численные методы во многих случаях позволяют строить лишь локальный фазовый портрет системы, причем при выборе конкретных значений параметров системы, а также при значительных затратах машинного времени и т.п.. В то же время качественные методы дают возможность построения глобальной картины поведения траекторий.
Одним из важных вопросов качественной теории дифференциальных уравнений является вопрос о расположении траекторий автономной системы в окрестности изолированной точки покоя. Исследованию этого вопроса посвящен ряд работ как отечественных так и зарубежных математиков. К их числу относится монография А.Ф. Андреева [1], в которой изложены теория и приложения метода Фроммера исследования поведения траекторий системы (0.1) в окрестности изолированной точки покоя. Этой же теме посвящена статья В.В. Немыцкого и Ю.В. Малышева [2], но, в отличие от [1] поведение траекторий в окрестности особой точки здесь изучается с использованием метода функций Ляпунова. На основе использования аппарата обобщенных функций Ляпунова в статье [3] Ю.В. Малышев проводит классификацию исключительных множеств системы dxldt = Х{х), где Х(х) DaR" —>/?", Х(х)е С*(D), (/с>1).
Среди большого числа работ, посвященных исследованию динамических систем (0.1), особое место принадлежит системам, правые части которых представляют собой многочлены с действительными коэффициентами. Это обусловлено их фундаментальной ролью в теории дифференциальных урав-

нений и широким использованием таких систем в качестве математических моделей [4-21].
Методы качественного интегрирования системы (0.1) широко используются в электрорадиотехнике [4, 8], биологии [9], физике [15, 16] и т.д.
В частности, в монографии М.В. Шамолина [17] развиваются качественные методы в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой. Модель, описываемая кубической дифференциальной системой1, используется для решения практически важной задачи борьбы с вредными насекомыми [12]. Другие применения плоских полиномиальных систем в биологии можно найти в работах [18-21]. Например, с использованием теории бифуркаций проведено параметрическое исследование системы нелинейных дифференциальных уравнений, предложенной Фиц-Хью (FitzHugh-Nagumo equations) [18-20]. Эта система описывает возбуждение нервных мембран и распространение нервных импульсов вдоль аксона. Обобщенная модель «хищник-жертва» представлена системой двух кубических обыкновенных дифференциальных уравнений [21].
С применением теории бифуркаций построена глобальная бифуркационная диаграмма автономной системы кубических дифференциальных уравнений, описывающая динамику процесса кристаллизации [12].
Не только публикации, но и международные симпозиумы, проводимые на постоянной основе, посвящаются различным применениям динамических систем в химии, физике, математике, инженерных науках, экономике [22, 23]. В этом ряду следует выделить конференции, посвященные классическим проблемам плоских полиномиальных векторных полей [24].
Современная качественная теория полиномиальных дифференциальных систем решает вопросы, касающиеся, в основном, исследования классических проблем: различения центра и фокуса; изохронности центра и фокуса; существования, отсутствия, единственности, взаимного расположения и оценки числа предельных циклов, так или иначе связанных с 16 проблемой Гильберта. Обзор работ, посвященных 16-й проблеме Гильберта, можно найти в работе [25].
1 В данной работе мы будем использовать термин «кубическая система» в случае, когда Р и £? - многочлены третьей степени, а если правые части дифференциальной системы многочлены второй степени, то «квадратичная система».

из прямых е°3, £°, £° проходит через одну из точек А и В. Прямые і з, £, I" -попарно различны, то поэтому две из них проходят через одну из точек А и В, а третья прямая изоклина нуля - через вторую особую точку (см. рис. 4).
Рис. 4. Прохождение прямых изоклин через особые точки
Очевидно, что через особую точку В не проходит никакая прямая изоклина, отличная от изображенных на рис. 4, так в противном случае система имела бы на прямой £” четыре особые точки, что недопустимо для кубической системы. Именно по этой причине любая прямая изоклина должна проходить через точку Е или А, или й, если она отлична от изображенных на рис. 4. Вместе с тем каждая такая прямая пересекает, как нами установлено выше, все три изоклины нуля. При этом одна из этих точек пересечения расположена вне прямых £°1 и £~, что противоречит свойству системы (49) иметь все особые точки на £” и іЧ.
Если бы точки Е ий лежали по одну сторону от А или точка С лежала левее, мы рассуждали бы аналогично и пришли бы к такому же противоречию. Тем самым доказано, что система (49) в случае а) не может иметь более шести прямых изоклин.
Пусть далее имеет место случай Ь). Предположим, что существуют прямые изоклины системы (49), отличные от главных изоклин, и одной из них является прямая £". Относительно расположения существуют две возможности: £т6 пересекает обе изоклины бесконечности, 1 пересекает только одну