Асимптотические разложения и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве

• Автор: Алиева, Людмила Марковна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 88 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Некоторые сведения из теории функций и функционального
анализа
Краткое содержание диссертации
ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ.
§1.1. Вспомогательные леммы
§ 1.2. Теорема об асимптотическом разложении
§ 1.3. Случай уравнения с линейным отклонением аргумента
ГЛАВА II. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ.
§2.1. Вспомогательные леммы
§ 2.2. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с
постоянными запаздываниями аргумента и постоянными
операторными коэффициентами
§ 2.3. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с
переменными запаздываниями аргумента и переменными
операторными коэффициентами
§2.4. Примеры для иллюстрации абстрактной теории
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Широкий спектр приложений, где используются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует увеличению интереса к изучению абстрактных функцио-нальнр-дифференциальных уравнений.
Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в наследственной механике, физике, биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.
Наибольшее применение нашла эта теория в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе, например, может существенно сказаться на ходе процесса. Могут возникнуть самовозбуждающиеся колебания и даже неустойчивость системы.
Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были заложены в конце 40-х, начале 50-х годов в работах Э.Хилле и Р.Филлипса [42], К.Иосиды [23], Т.Като [25]. Хилле и Иосида получили первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения х’ = Ах с неограниченным оператором А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В работе Като была получена теорема существования решения задачи Коши для уравнения х' = А(1)х с переменным неограниченным оператором АД).
В последующие 15 лет эта теория превратилась в большую самостоятельную область исследования. Ей посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков, занимающихся данными вопросами. Назовем здесь Э.Пинни [39], Р.Беллмана, К.Кука [17], Дж.Хейл [41], А.Д.Мышкис [36] и др.
Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д.Мышкис [36,37], а с 50-х годов А.Э.Эльсгольц [43], Н.Н.Красовский [30], С.Б.Норкин [38]. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна [21], С.Г.Крейна [31]... «Одной из движущих сил при исследовании дифференциальных уравнений в банаховых пространствах является теория уравнений с частными производными, дающая наиболее естественные примеры уравнений с неограниченными операторами» [31].
Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как В.Б.Колмановский [26], В.Г.Курбатов [32], Г.А.Каменский, А.Л. Скуба-чевский [24] и т.д.
С 60-х годов теорию уравнений с отклоняющимся аргументом успешно начала развивать группа математиков под руководством Н.В.Азбелева [1 ].
Одной из важных проблем при изучении дифференциальных уравнений и их приложений является проблема описания характера поведений решений при больших значениях независимой переменной и по отношению к возмущениям начальных данных.
Из работ, посвященных асимптотическому поведению решений в случае скалярного уравнения, укажем на монографию Р.Беллмана, К.Кука [17], в которой установлена связь между распределением корней характеристического квазиполинома и поведением решения при больших Ь для случая уравнения с запаздывающим аргументом
а0и'(Т) + Ь0и(Х) + Ь]и(1 — ю) = 0, 1 е (-оо,+со), где а0, Ь0, Ъ) - действительные числа и а>> 0.
Вопросы асимптотического поведения решений в случае операторного уравнения
ААЦг{Х-а)

Учитывая условия а) теоремы, налагаемые на А), получим
2 оо л
<=1 ||°(* - Ьщ - Ьч(0)|уЛ.
V >0 '
В силу условий на функцию и(Ч) отсюда следует регулярность в полуплоскости 1шЯ<а.
Далее оценим норму
Цатудл-ш)2

Це--МАгО). - еЧ0)8Ьк_+11к_(оГ(1)8Ьк.+11ч(1)]0у(г)|й1 <
*0 ’ >
-е“Ь«<г>8Нч+Нвд0}Г0)311к(+11к.(г)]О(г)|1 <
( Л, 00
< ]е"2£Ч2& Ге2(а-“)‘|
4*0 У ч40

_ еЛч<,)311.1[.+-]1к,(()(1)811к.+11кд,) сИ <

|е ( а) |[Ац)-811к./(08111д. - А8Ьк./(08Ьк.+Ьк.(г) + А8Ьк.у(0811к.+11к.(4)
<ср-“>'{|[Ач8|1чг«(811ч-8ЦЧ(,)) +

+ Ьч(1) - ||2У 1*51, +12