Решение уравнений с особенностями в аналитических банаховых шкалах

• Автор: Титов, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 273 с.

Оглавление
0.1 Введение
1 Ряды и последовательные приближения
1.1 Решение нелинейных уравнений
в аналитических полиалгебрах
1.1.1 Объект изучения
•1.1.2 Основные определения и свойства
1.1.3 Задача о неподвижной точке
1.1.4 Полиалгебра степенных рядов
1.1.5 Решение дифференциальных уравнений
1.1.6 Существование в целом по времени
1.2 Разложение решений нелинейных
уравнений в специальные ряды
1.2.1 Общее уравнение
1.2.2 Построение универсальной системы
1.2.3 Примеры универсальных систем
1.2.4 Задача Коши
1.2.5 Сходимость двойного ряда
1.3 О движении фронта
нелинейной диффузии
1.3.1 Постановка задачи
1.3.2 Построение решения
1.3.3 Структура ряда
1.3.4 Сходимость ряда
1.3.5 Движение тепловой волны в плазме

2 Решение нелинейных уравнений типа Фукса
2.1 О нелинейных уравнениях типа Фукса
2.1.1 Случай различных корней
2.1.2 Случай совпадающих корней
2.1.3 Случай кратных корней: сходимость
2.2 Околозвуковое обтекание тонких тел
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Построение логарифмического ряда
2.2.3 Сходимость логарифмического ряда
2.2.4 Оценка радиуса сходимости
2.3 Решения нелинейного осесимметричного уравнения фильтрации газа
в виде логарифмического ряда
2.3.1 Построение ряда для решения
2.3.2 Сходимость ряда
2.3.3 Прикладная задача фильтрации
2.4 Асимптотика разлета газа в вакуум
3 Построение банаховых шкал перенормированием
3.1 Линейная задача Коши в специальных
шкалах банаховых пространств
3.1.1 Свойство квазидифференциальности
в проективном пределе
3.1.2 Аналог теоремы Ковалевской
для линейных эволюционных уравнений
3.2 Аналитичность групп Ли-Беклунда
3.3 Линейная задача Коши в шкалах
с компактными вложениями
3.3.1 Топологизация и перенормирования К-шкал
3.3.2 Эквивалентность сингулярной
и квазидифференциальной теорем
3.4 Эквивалентность в целом теоремы
Нишиды теореме Л.В. Овсянникова

4 Существование шкал глобальных решений нелинейных параболических систем
4.1 Полиалгебра экспоненциальных рядов
4.1.1 Аналитичность рядов экспонент как решений нелинейных эволюционных уравнений
4.1.2 Решения уравнения Кортевега - де Фриза в
виде экспоненциальных рядов
4.2 Пространственно-периодические решения
4.2.1 Построение периодического решения
4.2.2 Теоремы сходимости
4.2.3 Периодическая задача Коши для
нелинейного уравнения теплопроводности
4.2.4 Периодические решения нелинейных уравнений второго порядка
4.2.5 О существовании периодических решений
уравнения стекания
4.2.6 Об аналитичности решения периодической
задачи Коши уравнения Фишера
4.2.7 Задача о сварке труб
4.3 Система уравнений Навье-Стокса
4.3.1 Периодическая задача Коши
4.3.2 Теоремы существования
4.3.3 Уравнение в форме Гельмгольца
5 Преобразования уравнений с особенностями, инвариантные пространства и точные решения
5.1 О преобразовании одномерных осе- и сферически
симметричных уравнений к плоским
5.2 Локальные рекурренции первого порядка
трансзвуковых уравнений
5.3 О виде нелинейности в симметрическом уравнении теплопроводности
с нетривиальной группой Ли-Беклунда

была матрица простой структуры. Кроме того, если норма вектора есть неубывающая функция от модулей его проекций на собственные вектора матрицы М, то оценку молено усилить.
ТЕОРЕМА 2. Пусть дано уравнение (1.23)
щ = Ми + Ь2[и, и] + Ьъ[и, и, и] +
в пронилъпотентной полиалгебре А с операторами Ьч, Ь%, .., и связанная с нею как в теореме 1 формулами (1.24) аналитическая полиалгебра А*, о подпространствах <7/у//дг-і-і которой дополнительно предполагается, что каждое такое пространство есть прямая сумма конечного (примем для простот ы) числа Iдг подпространств У)дг конечной размерности < т (гп Є N),
Фу/лг+1 = 0=1 (іітУ = Щы, (1.38)
и каждое подпространство Уду инвариантно относительно линейных операторов А4 и Ип (см. (1.24)), условия (1.25) и (1.26) (или (1.34)) заменяются на условия
ІІАгІЬ'Я < (П > 0) (1.39)
\MWjn < МЄ]М (М > 0, 1 < 0 < 1УР) (1.40)
(Р > 0) и требуется, чтобы нормы || ||дг и || Цудг в пространствах ,/лг/7д?+1 и были связаны таким образом, что
1МЫ = Е ІМЬ'іу, (1-41)

условия возможностей мажорирования уточняются - при р < Р0 "1. ||Хп(иі, . , Нп) дг |) дг ф
N К Ьп
— спу,АГ-к 2 2 ІІіійіІІлй ИлігА 1Ь'г4го (1-42)
к=п /г+...+/„=Л/і1 = 1 іп
где, естественно, Еуф Сп.ул'-Ц — сп,ы-к- Наконец, потребуєм, чтобы оператор Л4 в каждом подпространстве V)-дг имел т.] дг <