Математические модели диффузии примесей в абсолютно твердых пористых средах

• Автор: Гриценко, Светлана Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 113 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения
Введение

Глава 1. Предварительные сведения'

Глава 2. Корректность математических моделей диффузии на микроскопическом уровне

§1. Математическая модель М1 — движение вязкой жидкости в отсутствие объемной вязкости
§2. Математическая модель М2 — движение вязкой жидкости с ненулевой объемной вязкостью

§3. Математическая модель М3 с малой диффузией и конвекцией в твердом скелете

Глава 3. Усреднение математической модели М

§4. Постановка задачи

§5. Основные результаты

§6. Доказательство теоремы
§7. Доказательство теоремы
Список литературы

Обозначения
Пусть и = (щ, V = («1 ,...,ип) € Л".
Через и • V обозначим скалярное произведение в Кп

и • V — УУ{.

Через и® V обозначим тензорное произведение (диаду) двух векторов, которое можно рассматривать как матрицу отображения, определяемого следующим образом:
Уу (и <8> у)(у) = и(у • лу).
Если А и В - квадратные матрицы п х п, то сверткой А : В этих матриц называется число А : В = Ьг{АВт).
Если и(ж) = (■щ(х), ...,ит(х)), х € Лп, то через Уи обозначим матрицу
/ диг 9«!

дит дит
V С>Ж1 дхп/
В частности
т п г о г=1 5=1 •'
|Уи|2 = Уи : Уи.
Для т —

V и : У V = У и ■ Vv =
ди дь . , дх,• дх
5=1 ■' ^
и, например,
О — область из Яп, <90 — граница области О.
£д(0) (1 ^ д оо) — пространство вещественных функций и, опре-
деленных в О и таких, что и9 йх < оо, если д < оо, и существенно ограниченных по лебеговой мере, если д = оо. Норма в Ьд(£1) задается равенством
если 1 ^ д < оо,
1Мим(П) = евзвир|и(®)|. п
И<^(0) — банахово пространство, состоящее из всех элементов из £д(0), имеющих обобщенные производные всех видов до порядка I включительно, суммируемых по О со степенью д. Норма в И^(0) определяется равенством
н& = Е«а>&

((и))д,П =

Символ Б3Х означает любую производную и(х) по х порядка j, а означает суммирование по всевозможным производным и порядка у.

И^О) — подпространство пространства плотным множе-
ством в котором является совокупность всех бесконечно дифференцируемых, финитных в О функций.
(И^О))* — пространство, сопряженное к И^О),
От — цилиндр О х (О, Т) в пространстве Яп+1‘.
Ог = {(хЯ) е Яп+1х е о, * е (О, Г)}.
АгДОт) — банахово пространство, состоящее из всех измеримых на От функций с конечной нормой
и и ц - фиксированные положительные числа, а £ = (£і,..., £„) -произвольный вещественный вектор.
Коэффициенты аі,Ьі,а суть измеримые функции с конечными нормами

і=1 і—
1 Ті Ті
- + —= дЄ{-,оо], гє[1,оо), 2,
свободные члены имеют конечные нормы
(1.3)
(1.4)
2,П т —

< /Л2, Н/ИвьпЛт < (1-5)
7г + І “ 1 + Ї’ 91 Є [^Т2! 2]; Г1 Є [1’ 2Ьп > 3- (і-6)
Рассмотрим начально-краевую задачу:

£и = — - и5т = 0, гф=0 = ^о(ж).
(1.7)
Определение. Обобщенным решением из 1У2’ (^т) задачи (1.7) на-

зывается функция и(х, /) из РР2 (Фг), удовлетворяющая интегральному тождеству
I |-и% + + (аг - &г)и + /г]%; + (а - Ь{х()иг} + /г?|сгх еЙ-
— / 'фо(х)г](х, 0)с1х =

Уг](х,Ь) € 1К2 (От), равной нулю при / = Г, если фо(х) ^ ^(^)-
Теорема 1.6 Пусть коэффициенты уравнения (1.1) удовлетворяют условиям (1.2),

г дсщ
йг-Щ, — -А