Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

• Автор: Быстрецкий, Михаил Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 125 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Априорные оценки
§1.1 Основные результаты
§1.2 Оценка производной
§1.3 Априорная оценка: случай одной гиперповерхности
§1.4 Априорная оценка: случай двух гиперповерхностей
Глава 2. Разрешимость краевых задач в п-мерном случае
§2.1 Основные результаты
§2.2 Инвариантность свойства разрешимости
§2.3 Свойства систем вида г' = гтп~1Сг
§2.4 Гомотопическая классификация невырожденных квадратных
матриц
§2.5 Доказательство теорем о разрешимости
Глава 3. Разрешимость краевых задач в двумерном случае
§3.1 Основные результаты
§3.2 Автономные системы с положительно однородной нелинейностью
§3.3 Гомотопическая классификация и разрешимость: случай одной
гиперповерхности
§3.4 Разрешимость в случае двух гиперповерхностей
Литература

Введение
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию априорной оценки и разрешимости третьей двухточечной краевой задачи вида
z" = P(t,z,z) + f(t,z,z'), 0 z'(0) = A0(z(0),z(l)) + h0(z), z'(l) = A1(z(0),z(l)) + h1(z), (2)
где отображения
P: [0,1]хГх Rn, /: [0,1]хГх Жп >-> Rn,
А0, Аг: Rn x Rn Rn, h0, h: C,1([0,1]; Rn) H- Rn непрерывны и удовлетворяют условиям:
1) P(t, Xzi, Xz2) = XmP(t, zi, Z2) для всех Л > 0 и фиксированного т > 1;
2) Aj(Xzi, XZ2) = XAi(zi, Z2) для всех Л > 0, j = 0,1;
3) max f(t,zi,z2)(z1 + z2)~m 0 при гг + ф2| оо;
4) \4&Mz) 0 при Nile1 -» 00, j = о, 1.
Здесь через С,1([0, l];Rn) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой
INIc1 = Nile + N'llc = max z(t) + max z'(t).
01 41 osstci.
В краевой задаче (1), (2) положительно-однородные отображения Р. Aq, А являются главными нелинейными членами, а отображения /, ho, h — возмущениями. Априорная оценка и разрешимость краевой задачи (1), (2) исследуются

в терминах свойств главных нелинейных членов Р, Aq, А. Если множество решений краевой задачи (1), (2) ограничено по норме пространства С'1([0,1]; К/1) или пусто, то будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку.
Исследованию априорной оценки и разрешимости двухточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посвящены многочисленные работы. Среди них отметим классические и фундаментальные работы С. Н. Бернштейна [4-6], М.Нагумо [27], а также работы Ю. А. Клокова [17,18], К. Шрёдера [44], Н. И. Васильева [8], А. Я. Ленина [20], А. И. Перова [16], М. А. Красносельского [14,15,19], В. В. Филиппова [39-41], Э. М. Мухамадиева [22-26], А. Н. Наимова [28-31]. В последние годы двухточечные краевые задачи исследовались в работах Е. Agarwal [1], Y. Ап [2], В. Ahmad [3], F. Geng [9], R.Du [10], Y. Ermachenko [12], Z.Zhou [13], Z. Han [7], P. Cerda [38], X. Chang [43].
В указанных работах С. Н. Бернштейна, Н. Нагумо, Ю.А. Клокова, К. Шрёдера, А. Я. Лепина, Н. И. Васильева в основном исследована первая краевая задача для скалярных уравнений второго порядка у" — f(t,y,y'), в случае когда правая часть / относительно у1 имеет порядок роста не больше, чем 2. Доказано, что в случае порядка роста больше 2 первая краевая задача не всегда разрешима. В связи с этим представляет интерес выделение широкого класса сильно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разрешима краевая задача не с первыми краевыми условиями, а с третьими. При этом актуально применение методов нелинейного анализа таких, как метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения бесконечномерных вполне непрерывных векторных полей.
В работах Э. М. Мухамадиева, А. Н. Наимова [26, 28,30, 31] краевая задача (1), (2) исследована в скалярном и векторном случаях. В них разрешимость краевой задачи исследуется методом априорной оценки и эффективным вычислением вращения вполне непрерывного векторного поля, порожденного краевой задачей, в случае, когда множество нулей P(t,x,y) — 0 состоит лишь из поверхности у = 0. Основная проблема состоит в согласовании множества

Лемма 1.3. Существует т* Е [0,1] такое, что щ(щ) ф О. Доказательство леммы 1.3. Пусть щ(Ь) = 0. Тогда, согласно (1.25),
\ик\с = ик(гк) -» 1 при к У оо.
Рассмотрим функции wk(t) = и'к(тк + trk~m), к = 1,2, — Имеем:
w'kit) = P(.Tk + trl~m,uk(Tk + trl-m),wk(t)) + o(l), te(ak,ßk), (1.26)
wk(ak) = А0(ик(0),ик(1)) +о(1), Wk(ßk) = Ai(Mfe(0),Mfc(l)) + о(1),
wk(t) < 1 для всех t G [ak,ßk, (l-27)
1(0)! —> 1 при /с —)► оо,
где CÜfc = ßk = (1 - 7>)г-1.
Из (1.26) и (1.27) следует, что на каждом конечном отрезке [аь &i] С (а, ß),
где а = lim ад, /3 = lim ßk, определены функции
к-оо к-Лоо
Wk(t), к = ко, ко + 1
равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные. Поэтому можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность
wki 00; 1 = 1,2
Выберем расширяющиеся отрезки
[ац bi] С [а2,Ъ2] С ... С [ар,Ьр] С
где ар —> а, и Ър ß при р —> оо. На каждом отрезке [ар, Ьр (начиная с р = 2)
из последовательности функций
4Г1}(*)> г==1.2
выберем подпоследовательность функций
равномерно сходящуюся на отрезке [ар, Ър].