Существенные особенности решений некоторых систем Брио и Буке и обобщенные теоремы Горна и Сохоцкого

• Автор: Макарьина, Ирина Альбертовна
• Шифр специальности: 01.01.01, 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Вологда
• Количество страниц: 125 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Общая степенная функция в комплексной области.
§ 1. Основные свойства общей степени функции
§ 2. Аналог теоремы Сохоцкого для общей степенной функции
§ 3. Решения простейших линейных дифференциальных уравнений на
бесконечнолистных поверхностях Римана
§ 4. Структура решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка в окрестности регулярной особой точки
Глава 2. К теории уравнений Врио и Буке.
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Случай одного уравнения Врио и Буке
§ 3. Случай системы двух уравнений Врио и Буке
§ 4. Случай системы двух уравнений Врио и Буке при X, = й и ц * X
§ 5. Общий случай
Глава 3. Обобщение одной классической задачи в теории уравнений Врио и Буке.
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Обобщенная теорема Горна
§ 3. Решения системы (3.1.1) с существенными особенностями в
точке
Глава 4. Нормальные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Случай полиномиального Р(г)
§ 3. Уравнение Гамбургера
§ 4. Обобщенное уравнение Гамбургера
§ 5. Нормальные решения линейных дифференциальных уравнений
двумя неподвижными точками типа полюсов
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ.
Многие задачи естествознания и техники в плане их теоретического обоснования тесно связаны с дифференциальными уравнениями, в том числе и с обыкновенными.
Основной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений является задача нахождения всех решений данного уравнения. В простейших случаях все решения удается выразить через элементарные функции или представить в виде квадратур от элементарных функций. Однако такие случаи встречаются крайне редко. И до настоящего времени решения многих дифференциальных уравнений не найдены, что сдерживает развитие ряда научных и технических задач из области исследования процессов, описываемых этими уравнениями. С другой стороны, и чисто теоретические исследования, выполняемые в рамках дифференциальных уравнений, способствуют решению проблем из других отраслей науки и техники.
В конце прошлого века работы Э. Пикара и С. Ли привели к более глубокому пониманию структуры дифференциальных уравнений, позволили их классифицировать, предвидеть случаи, когда они интегрируются в квадратурах, установить ряд свойств, которые до того казались не связанными друг с другом. Все это способствовало возникновению в теории дифференциальных уравнений задачи изучения свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями, непосредственно по виду заданного уравнения независимо от интегрируемости последнего в элементарных функциям или квадратурах. Такой подход характерен как для теории устойчивости, основы которой заложил А.М. Ляпунов в работе "Общая задача об устойчивости движения", так и для качественной теории дифференциальных уравнений, развитие которой во многом определила работа А. Пуанкаре "О кривых, определяемых

Все, что имеет место в точке г=0 для функции и> = га+ь' без изменения переносится и на функцию
= (2-20)а+Ь‘, (1.2.10)
для которой точка г = г0 также является существенно особой.
Рассмотрим теперь голоморфную функцию, представленную рядом
Ф)=Ъ<Рф > (1.2.11)

сходящимся в круге
z-ZfKR. (1.2.12)
Функцию (1.2.11) можно рассматривать и на бесконечнолистной поверхности Римана 0,(г), порожденной функцией (1.2.10). При этом круг (1.2.12) комплексной плоскости заменится соответствующей бесконечнолистной окрестностью точки г0, и тогда можно будет ввести бесконечные спиралевидные пути, ведущие в точку г0, с единственным требованием, чтобы эти пути начинались в указанной окрестности точки. На каждом из таких путей Ф)<Ро = Ф<о)
и сохраняются все свойства функции, представленной степенным рядом.
Функцию (1.2.11) можно объединить с функцией (1.2.10) или аддитивно, или мультипликативно, образовав на их основе две новые функции
Р(2)=С(2-20)а+ы +ф), (1.2.13)
Ф(г) = {г-г0 )а+Ь‘ ф), (1.2.14)
и каждую из этих функций рассматривать на бесконечнолистной поверхности, порожденной функцией (1.2.10). Для функций (1.2.13) и (1.2.14) снова можно выделить пути трех видов, среди которых окажутся и неопределенные, а значит справедливы