Перестановки во множестве натуральных чисел и их применение к изучению рядов в банаховых пространствах

• Автор: Лазарева, Елена Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 77 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Умножение перестановок на целые числа
1° Основные понятия. Перестановки, меняющие сумму и
сходимость
2° Умножение перестановок на целые числа
Глава 2. Умножение перестановок на нецелые числа
1° Перестановка яз не делится пополам
2° Возможности примера Марцинкевича - Корнилова
3° Свойства выделяемых перестановок
Глава 3. Пространства векторных рядов
1° Множества первой категории в пространствах рядов
2° Недополняемые подпространства в пространствах рядов
Литература
Работы автора по теме диссертации
Введение
Во многих областях математики используются ряды - числовые, векторные, функциональные. В основном ряды используются как инструмент приближения одних объектов другими - более простыми. Именно поэтому исследование свойств самих рядов является важным разделом математики. Истоком темы, которой посвящена данная работа, является классическая теорема Римана: условно сходящийся числовой ряд можно переставить так, что он будет сходиться к любому наперед заданному числу, а также к = оо или к —со. Если понимать

под областью сумм ряда £ х> элементов пространства Е множество

тех х £ Е, что при некоторой перестановке п ряд £ Хк сходится

к х (это определение ввел М.И.Кадец в [о], используется также термин ” множество сумм”:[7],[8],[16]), то теорема Римана формулируется так: область сумм числового условно сходящегося ряда есть множество действительных чисел.
Естественным образом возникает вопрос: что можно сказать об области сумм условно сходящегося векторного ряда или ряда, составленного из функций? Первый результат, относящийся к векторным рядам, а именно, к рядам комплексных чисел, получил П.Леви в 1905 г. [21]. Для рядов в произвольном конечномерном пространстве на этот вопрос ответил Е.Штейниц в 1913 г.[25]. Теорема Штейница

гласит: область сумм ряда £ Хк в т - мерном пространстве Е есть

подпространство в + Го, где в = £ , Г о аннулятор множества

Г = {/' е Е* : Д |/(ж*)| сходится.}.
Однако в бесконечномерном нормированном пространстве аналог теоремы Штейница не верен. Область сумм ряда в данном случае может быть незамкнутым множеством (М.И.Островский,[13]), не иметь линейной структуры (И.Марцинкевич, П.А.Корнилов[9]), а то и вовсе состоять из нескольких точек (М.И.Кадец, К.Возняковский[20], П.А.Корнилов[8]). Причем такие ряды существуют в каждом банаховом пространстве. Налицо принципиальное отличие структуры обла-
сти сумм ряда в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Эта ситуация стала объектом исследований большого числа математиков. В существующих работах по данному вопросу можно выделить два основных связанных друг с другом направления исследований.
Первое заключается в нахождении условий, достаточных для того, чтобы область сумм ряда в бесконечномерном пространстве совпадала с подпространством з + Го- Этой теме посвящены работы М.И.Кадеца[5], С.Троянского [15], Е.М.Никишина [11],[12],
Д.В.Печерского [14], С.А. Чобаняна [16], М.И.Островского[13], И.Ба-рани[1] и других авторов. Классическим здесь является результат М.И.Кадеца (1954 г.,[5]) для пространств Ьр, р > 1 : условие
00 :
х !ЫГ<ад < со

является достаточным для того, чтобы область сумм ряда Е Хк со-

впадала со множеством в + Го- Этот результат С.Троянский (1967 г.,[15]) обобщил на равномерно гладкие банаховы пространства как

Е р(1М1) < оо

(р - модуль гладкости пространства). Работу С.А.Чобаняна [16](1984 г.) можно считать обобщением результата С.Троянского на случай произвольного банахова пространства.
Другое направление - построение рядов, области сумм которых не совпадают с подпространством б’+Гц и исследование известных достаточных условий совпадения в связи с этими рядами. Среди таких результатов выделяются работы П.А.Корнилова[6]-[9], М.И.Кадеца[20], В.М.Кадеца[4], М.И.Островского[13]. Наиболее интересные результаты данных исследований были перечислены ранее.
Самый полный обзор исследований по обоим направлениям содержится в монографии В.М.Кадеца и М.И.Кадеца ”Перестановки рядов в пространствах Банаха” [3].
Таблица
к Чк п(к) Рп(к) т(к) * к q к п(к) Рп(к) т(к) *
1 0 1 0 0 - 15 7 11 3 6
2 1 1 0 0 х2 16 8 И 3 6 £16
3 1 3 1 2 Х 17 8 12 3 6
4 2 3 1 2 Х 18 9 12 3 6 X18
5 2 5 2 4 хъ 19 9 13 3 6
6 3 5 2 4 XQ 20 10 13 3 С £'20
7 3 6 2 4 — 21 10 14 3 6
8 4 6 2 4 х8 22 11 14 3 6 £’22
9 4 7 2 4 — 23 11 15 3 6
10 5 7 2 4 £10 24 12 15 3 6 £’24
11 5 9 3 6 Ж 5 25 12 17 4 8 Ху
12 6 9 3 6 £12 26 13 17 4 8 £26
13 С 10 3 С — 27 13 18 4 8
14 7 10 3 6 £14 28 14 18 4 8 £28
В колонке * данной таблицы выписаны слагаемые, которые добавляются к сумме щ + ито(*) на шаге к.

С помощью таблицы 1 мы можем выписать начало ряда £ хагку.
£2 + х + ж4 + х3 + £б + -т8 ~Ь ж10 + £’5 + XV2 + £14 + £’16 + ж18 + £’20 + £22 + £24 + х7 + £26 + ж28 +

Увидев, какие места в ряде £ ха занимают элементы с нечетными индексами, мы можем сформулировать гипотезу:
NC= {2,4,8
то есть С = N А. Нужно ее проверить. Для этого убедимся, что

при каждом MEN элемент Х2м- стоит в ряде £ х на месте с

номером 2м. Пусть М Е N, к — 2(2М — М). Посмотрим, что пред-

ставляет собой частичая сумма ряда £ ха} которая совпадает с суммой ик + пт{к).
с1к = card ({1,