Функциональные интегралы и представления группы диффеоморфизмов окружности

• Автор: Досовицкий, Алексей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
1 Меры, квазиинвариантные относительно действия групп диффеоморфизмов.
1.1 Меры, квазиинвариантные относительно действия группы диффеоморфизмов отрезка
1.2 Меры, квазиинвариантные относительно действия группы диффеоморфизмов окружности
1.3 Доказательства теорем
1.3.1 Доказательство теоремы
1.3.2 Доказательство теоремы
1.3.3 Доказательство теоремы
1.3.4 Доказательство теоремы
1.4 Доказательства лемм
1.4.1 Доказательство леммы
1.4.2 Доказательство леммы
1.4.3 Доказательство леммы
1.4.4 Доказательство леммы
2 Представления групп диффеоморфизмов отрезка и окружности.
2.1 Доказательства предложений и теорем
2.1.1 Доказательство предложения
2.1.2 О доказательствах теорем
2.1.3 Доказательство теоремы
2.1.4 Доказательство теоремы
2.2 Доказательства лемм
2.2.1 Доказательство леммы

2.2.2 Доказательство леммы б
2.2.3 Доказательство леммы
3 Диаграммы Фейнмана
3.1 Диаграммная техника в суперпространствах
3.1.1 Супералгебры и суперпространства
3.1.2 Производная и интеграл
3.1.3 Суперскаляриое произведение и гауссовские суиермеры
3.1.4 Теорема Вика и её обобщения
3.1.5 Интегралы от одночленов
3.1.6 Интегралы от многочленов
3.1.7 Диаграммы и графы
3.1.8 Интегрирование экспоненты от многочлена
3.1.9 Интегрирование экспоненты от суммы многочленов
3.2 Диаграммная техника в гильбертовых пространствах
3.2.1 Интеграл Фейнмана, теорема Вика
3.2.2 Интегрирование многочленов и экспонент от многочленов
Заключение
Список литературы

Введение.
В настоящей диссертации рассматривается два круга вопросов, связанных с интегрированием в бесконечномерных пространствах. Это, во-первых, изучение мер на множествах кусочно-гладких гомеоморфизмов отрезка и окружности и связанных с ними представлений групп диффеоморфизмов отрезка и окружности, и, во-вторых, математическое обоснование диаграммной техники Фейнмана в гильбертовых пространствах и в суперпространствах.
В первой главе диссертации изучаются меры на специального вида подмножествах множества кусочно-гладких гомеоморфизмов окружности и отрезка, квазиинвариантные относительно действия групп диффеоморфизмов, соответственно, отрезка и окружности, с борелевской ограниченной второй производной. Далее во второй главе строятся серии неприводимых представлений групп СЯ-диффеоморфизмов окружности и отрезка в пространствах функций, квадратично интегрируемых по этим мерам.
Исследования мер, квазиинвариантных относительно действия групп диффеоморфизмов многообразий, и связанных с ними представлений, начались в начале 1970-х годов в работах P.C. Исмагилова [1, 2, 3, 4, 5]. В статье [1] вводится мера на пространстве сходящихся последовательностей на окружности, доказывается ее квазиинвариантность относительно действия группы диффеоморфизмов окружности, а также неприводимость и унитарность соответствующих представлений. В работах [2, 3] близкие построения проводятся для группы диффеоморфизмов компактного многообразия. В статьях [4, 5] вводится пуассоновская мера на пространстве конфигураций (локально конечных множеств) в Жп, и с ее помощью исследуются представления группы финитных (тождественных вне компакта) диффеоморфизмов. Другими методами меры (в том числе пуассоновские) на пространстве конфигураций на некомпактном многообразии и связанные с ними представления изучаются в статье А. М. Вершпка, И. М. Гельфанда, М. И. Граева [6]. Также различные

/= I «Т(*;,т)))с((],«а)*1*2 = У /ЛЛМЛ)(/13Л-/?Л)<*М&+
Ц>*2 о о

+ [ [<Л№Ш(/МЬ - Ш -1) + /?/!)#.*+

<р'(А)<рШ(бЛ2/2 - 9/1/2 - Л2 + /1)4/14/2+

+J I (/(/г)(З/1/2 —2/1 + 1)4/14/2- I тАЛЖ/г)(/ь/2 — /1/2)4/14/2—
О О /!>/2
- / Д/1)*>"(Л)(Л-/22)#1*- / +/1)¥>'(/2)(2/1/|-/|)ф1*/2 +
Л >/2 /д >/2
+ з /* Ж/ЖЖЖЖ/г + [ (риу'Ш (5/1/2 - 5/| + 3/2)4/14/2-
/д>/2 + >/2
— 4 [ фШрШММЯ (1.18)
/д > /2
Отдельно преобразуем каждый интеграл:

+"(/1)(/2)(Л3/2 - /1/2)4/14/2 = /*¥>"(/1)Л2(/1 - 1)4/1 [Ч>{/г)Л4/2
0 0 о
1 1 р2
= - j +/(/0(з/1 - 2/1)4/! у <рШ№&

= -+(!) [ +(/г)/2#2+ [ ¥>(/1X6/1 - 2)4/]. / +(/2)/г4/2

= б (/ ,(/)М -2J ч>{/)й/1+(/)/4/ - +(1) У+(/)/4/: