Прямые и обратные задачи спектрального анализа и их приложения к нелинейным эволюционным операторам

• Автор: Поплавский, Дмитрий Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 116 с.

ГЛАВА 1. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА НА ПОЛУОСИ
1.1. Обратная задача спектрального анализа для сингулярных дифференциальных операторов высших порядков
1.2. Теорема о полноте для сингулярных дифференциальных пучков
1.3. Доказательство теоремы о полноте
ГЛАВА 2. МЕТОД ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ БОГОЯВЛЕНСКОГО НА ПОЛУОСИ
2.1. Спектральная задача и се свойства
2.2. Решение начально-краевой задача для системы Богоявленского
2.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи для системы Богоявленского
ГЛАВА 3. МЕТОД ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КдФ НА ПОЛУОСИ
3.1. Спектральная задача для дифференциальных систем
3.2. Решение начально-краевой задача для векторного модифицированного уравнения КдФ
Список литературы

Целью диссертационной работы является исследование прямых и обратных задач спектрального анализа для специальных классов обыкновенных дифференциальных операторов на полуоси и их приложение к решению начально-краевых задач для нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. Спектральная теория дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений в естествознании и технике. Интерес к задачам спектральной теории операторов постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений и в настоящее время спектральная теория интенсивно развивается во всем мире.
Большинство исследований в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов относятся к скалярным дифференциальным уравнениям произвольного порядка п > 2 вида
У{п) + Е p^x)y{v] = (0-1)
1
и к системам дифференциальных уравнений вида
Y'{x) + P{x)Y(x) = XP0Y{x), (0.2)
где Y (х) — вектор-столбец, Р0 — постоянная матрица, Л —спектральный параметр, а также к связанным с ними более общим объектам. Первые исследования по спектральной теории операторов вида (0.1) при п = 2 были выполнены Даламбером, Эйлером, Лиувиллем, Штурмом и Д. Бернулли в связи с решением уравнения, описывающего колебание струны. Интенсивное развитие спектральная теория для различных классов операторов получила в XX веке. Глубокие идеи здесь принадлежат Г. Бирхгофу, Г. Вейлю, Д. Гильберту, К. Нейману, В.А. Стеклову, М. Стоуну и другим математикам. Как известно, прямые задачи спектрального анализа заключаются в изучении свойств спектра и корневых функций операторов, а также вопросов полноты и спектральных разложений. Обратные задачи состоят в определении операторов но их спектральным характеристикам. Во второй половине XX века существенный вклад в исследование прямых задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов внесли работы А.Г. Костюченко, В.Б. Лидского, М.А. Наймарка, В.А. Садовничего, Я.Т. Султанаева, М.К. Фаге, А.П. Хромова, A.A. Шпаликова и других математиков (см. [17], [24], [34], [39], [41], [54]-[56] и литературу в них). Основные результата в теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов были получены в работах В.А. Амбарцумяна,

Р. Билса, Г. Борга, М.Г. Гасымова, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лейбензона, В.А. Марченко, Л.А. Сахновича, Л.Д. Фадеева, И.Г. Хачатряна, В.А. Юрко и других математиков (см. [1], [4], [19]-[23], [37], [51], [58]-[62]). В то же время целый ряд важных задач спектральной теории дифференциальных операторов в силу их сложности остается неисследованным, особенно в сингулярном случае.
Спектральная теории дифференциальных операторов играет центральную роль при интегрировании нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными. В 1967 году Г. Гаднер, Ж. Грин, М. Краскал, Г. Миура ([11]) открыли замечательный метод решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ)
связанной с обратной задачей рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля
с параметром £ > 0. Ключевым моментом метода является то, что нелинейной эволюции потенциала и(хЛ) по £ соответствует линейная эволюция данных рассеяния 5(Ь(£)). Переход к данным рассеяния можно трактовать как некий нелинейный аналог преобразования Фурье. При этом роль обратного преобразования Фурье играет обратная спектральная задача. Гешение задачи Коши (0.3) можно представить следующей схемой
Данный метод интегрирования получил название метода обратной задачи. П. Лаке ([18]) показал, что уравнение КдФ имеет эквивалентное представление
Здесь точка обозначает дифференцирование по £. Это представление называется представлением Лакса, а пара операторов {Ь, А} — парой Лакса. Существует также возможность еще одного эквивалентного представления уравнения: КдФ, носящего название представления нулевой кривизны (см. [40]).
Впоследствии метод обратной задачи был распространен и па другие нелинейные интегрируемые эволюционные уравнения (см. [2], [3], [15], [40] и литературу в них). Каждому нелинейному уравнению из этого класса соответствует своя специфическая спектральная задача для некоторого дифференциального оператора. Например, нелинейному уравнению Шредингера соответствует обратная задача для системы Дирака, а уравнению Буссинеска — обратная задача для уравнения (0.1) при п = 3.
щ — 6иих + иххх — 0, -оо < х < оо, £ > О, и(х,0) = и0(х),
(0.3)
и(-,0) <-* Ь{0)
прямая задача рассеяния
н(-,£) «-> А(£)
обратная задача рассеяния п/г/.чч
1 = [А,Ь], [А,Ц:=АЬ-ЬА,

Ьу = -у" + и{х, і)у, Ау = -Ау"’ + 6и(х, і)у' + 3их{х,і)у.

Покажем, что
Го ф 0.
Для этого выполним ряд преобразований. Сложим в определителе Го первую строку со второй, третью с четвертой и воспользуемся (1.92). После чего поменяем первую строку с четвертой. Имеем
1/ ,2 1, ,2 1. ,
2 8 8Ч 2 ®
О)?
0/6
8^8
5“>в
0 0 |(ад + а/8) |(ад + а/8)
0 0 (ад+а/е) |(а/5+а/8)
1, ,2 І. ,2 2^8 8Ч А (ад + 0/$) |(а/7 + а/8)
/ ,2 С,2 Ч 2Ч (а/5 + а/6) |(а/5 + а/е)
— 04^6^8 (ш5 + ад)(ад + а>8).
Последнее выражение, в силу введенной нумерации корней од, (см.(1.90)), отлично от нуля в каждом секторе 5, то есть
Г0 ф 0.
Далее, обозначим через Д/у(А) и Д)Г, к,$ = 1,8 алгебраические дополнения элементов матриц
( м3 (рч)3 • • (рч)3
(рад)3А (рад)3 А • • (рч)3А
(рад)4 (ра/2)4 • (РЧ)4
(рад)4 А (ра/2)4А • • (рч)4А
(рч)5 (ра/2)5 • (рч)5
сл > (рад)5А • . (ра/8)5А
(рад)6 (ра/2)6 . ма
(рад)6А (ра/2)6А • • (РЧ)6А ) V

А А ад ад ад А адА

СіЛі
а^іА а>|А

и?А <4 А
і

а/8
а>иА
а>І
а>8А
<4А У
соответственно. Тогда из (1.102) и (1.103) получаем
ау(А) ~
Д?-б,&-б(А)
ДоР36 Пч?’ 1
= 11,14, 7/у

А І = 5,8,
где До определено в доказательстве леммы 1.16. Отсюда с использованием очевидных соотношений
д;Л(А) = д°* р31 П ч3. ; = 5>6-к

Д^(Л) = Д°,р30 П Ч3, І = 7,8, * = 5,8,
і=1,і^к