Экстремальные задачи в некоторых классах аналитических функций

• Автор: Каюмов, Ильгиз Рифатович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
1 Оценки логарифмических коэффициентов в некоторых
линейно-инвариантных семействах
1.1 Оценки в классе Блоха
1.2 Некоторые соотношения для коэффициентов однолистных
функций
1.3 Интерполирование ограниченных функций в областях со сложной геометрией
1.4 Асимптотическое поведение логарифмических коэффициентов в линейно-инвариантных семействах порядка альфа
2 Экстремальные задачи с заданным граничным поведением
2.1 Об одной задаче Д. Пойа и Г
2.2 Обобщение теоремы Радона на случай бесконечных областей
2.3 Некоторые свойства однолистных профилей с минимальным максимумом скорости
2.4 Случай выпуклых профилей
2.5 Динамика множеств, определяемых допустимыми функционалами для конформных отображений
2.6 Контрпример к аналитическому неравенству Пуанкаре

Введение
В диссертации исследованы проблемы коэффициентов в линейно-инвариантных семействах функций (в том числе и однолистных функций), а также некоторые проблемы для функций с заданным граничным поведением.
Среди основных результатов данной диссертации — решение одной проблемы для функций класса Блоха.
Функции класса Блоха В определяются условиями: f(z) = а0 + агг + а2г2 + ... аналитична в круге Е — {г : г < 1} и Б(/) = вир{(1 — |,г2|)|/'(.г)| : г Е Е} < со. Они образуют несепарабельное банахово пространство с нормой ||/||й = |/(0)| + B(f).
Связь с теорией однолистных функций проявляется следующим образом.
Логарифмы производных однолистных в круге Е функций принадлежат шару с радиусом б пространства Блоха. Этот факт был доказан известным немецким математиком Л.Бибербахом. Наоборот, единичный шар пространства функций Блоха содержится в классе функций, состоящем из логарифмов производных однолистных в круге Е функций (см. рис. 1). Этот результат принадлежит И. Беккеру.
Основополагающие результаты в теории функций пространства Блоха принадлежат П.Л. Дюрену, Х.С. Шапиро, А.Л. Шилдсу [46], X. Пом-меренке [38], [59]. Их исследования продолжили Н.Г. Макаров [53], И.В. Журавлев [21], Й. Фернандес и другие математики. В 1974 году вышла обзорная статья Андерсона, Клуни и Поммеренке, посвященная современному состоянию дел в этой области. Там же были сформулированы 12 открытых проблем. К настоящему времени почти все они решены. В диссертации приводится решение проблемы N 7 из той статьи. Эта проблема является проблемой коэффициентов для однолистных функций.

Экстремальной оказалась известная функция Кебе. Эта функция отображает единичный круг на всю плоскость с прямолинейным разрезом, идущим от точки 1/4 до со.
Проблема коэффициентов для однолистных функций, в силу своей сложности, является традиционным объектом исследования как зарубежных (Бибербах, Левнер, Литтлвуд, Шиффер, Гарабедян, Хейман, Поммеренке, Дженкинс, Сеге, Фекете, де Бранж, Клуни, Ландау, Кар-лесон, Джонс и другие), так и отечественных (Г'.М. Голузин, И.Е. Базилевич, Н.А. Лебедев, И.М. Милин, И.А. Александров, В.Я. Гутлянский, П.М. Тамразов, В.В. Горяйнов, Д.В. Прохоров, В.В. Старков, А.З. Грин-шпан, А.Ю. Васильев и другие) специалистов по теории функций. Проблемы коэффициентов однолистных функций тесно связаны с граничным поведением [45]. Как правило, не удается привести явного аналитического решения какой-либо проблемы коэффициентов. Чаще встреча-юся ситуации, когда экстремальную функцию можно охарактеризовать геометрическим образом. Однако, в подавляющем большинстве случаев практически невозможно сделать ни того, ни другого ( значительную часть исключений составляют экстремальные задачи, решением которых является функция Кебе, о которой уже упоминалось выше ). Поэтому имеет смысл, в этом случае, получать неточные оценки. В этом направлении, диссертантом усилен один результат Карлесона-Джонса.
Автором изучаются, также, некоторые экстремальные задачи для функций с заданным граничным поведением.
Задачи подобного типа успешно изучались М.А. Лаврентьевым [31], который создал свой собственный эффективный метод решения задач. В диссертации получено продвижение в одной задаче об оптимальном профиле, обтекаемым потоком идеальной несжимаемой жидкости, поставленной Ф.Г. Авхадиевым в 1994 году. Особенность проблемы заклю-

/о(г)| < ф)гГ0(г)1
IV IV
т.е.
М*)1 < (е°зё - 1)И*)1> 2 £ Еп.
Теперь, применяя лемму 1, доказываем требуемое. Лемма 3. Если / € 1, то
,/(2) <1г?(г)1<
гр(г) с1г f(z) 1 - |г|2
Доказательство. В данном неравенстве, как легко видеть, класс 51 можно заменить на класс 5. Запишем известные неравенства [17]
|(1-|г|>Ш_2|г|’|<ф|, (32)
К1 - КьЩ - 2(1 - ~ 1} + 2|г|2 Л(|-г|)| - (33)

г 1 .ПЕШЁЕлх А()Д) = 4(1 + - ° '
‘0 у/(1-22х2)(1-х)Х
Из (32) и (33) сразу следует, что
2К ущ ~Щ + ])(! - 1*И1 < М + 8Д(И).
Для А(|Д) известна следующая оценка [2] : А(г) < г2. Поэтому можем записать окончательную оценку
,/"(*) №) + 1|<
/'(г) }{г) г 1-|Д2’
что и требовалось доказать. Отметим что эта оценка не является точной. Однако она асимптотически точна при |Д —»1.