Системы сдвигов и экспонент как бесселевы последовательности и фреймы

• Автор: Климова, Екатерина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 120 с.

Оглавление
Введение
1 Фреймы сдвигов и системы экспонент в конечномерных пространствах над полем К, С, <0>р

1.1 Фреймы сдвигов векторов в унитарном пространстве. Построение, примеры

1.2 Бесселева граница последовательности

1.3 Системы экспонент в пространстве С'¥

1.4 Конструкция фреймов в пространстве над полем р-адических чисел.

Построение фрейма Парсеваля-Стеклова в О2

2 Фреймы сдвигов в В2 (К)

2.1 Некоторые операторные соотношения в Ь2 (М)

2.2 Фреймы из целых сдвигов функции

2.3 Фреймы сдвигов для произвольной числовой последовательности
3 Базисы Рисса, фреймы и бесселевы последовательности экспонент в Ь2 {—7,7)
3.1 Предварительные сведения
3.2 Бесселевы последовательности и фреймы экспонент. Необходимые условия
3.3 ВЯ- и фреймовый радиусы притяжения для числовой последовательности
3.4 Системы весовых экспонент

Литература
Введение
Актуальность работы. Наряду с методами классического гармонического анализа в последние десятилетия большое внимание стало уделяться негармоническому анализу, в котором информация (сигналы) представляются в виде рядов по неортогональным или линейно зависимым (избыточным) системам. Такие представления имеют ряд преимуществ: неограниченный объем, возможности выбора оптимальных представлений по разным критериям и т.д. Например, широко используются фреймовые представления для удаления шумов, использующие нетривиальность ядра оператора синтеза.
Понятие фрейма впервые было введено в 1952 году Даффином и Шеффером [47], в связи с изучением негармонических рядов Фурье. Следует отметить, что ранее в работах Бари, Наймарка [32] была развита теория фреймов. В последние годы фреймы получили широкое распространение в различных научных направлениях. В квантовой механике фреймы помогают представлять когерентные состояния. Цифровая обработка сигналов использует фреймы для борьбы с шумами. В общем, фреймы это "избыточное"множество векторов в гильбертовом пространстве, для которого сохраняется ослабленное равенство Парсеваля-Стеклова. Именно свойство избыточности обеспечивает в цифровой обработке сигналов устойчивость к потерям информации. Базисы Рисса являются фреймами, но образуют лишь малую часть во множестве фреймов. Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Общая теория фреймов подробно описывается в работах О. Christensen [45], И. Добеши [18], К. Блаттера [3]. Ряд прикладных задач потребовал изучения

1) Система (д (п) Ет (та))~д полна в Сл
2) Вектор д (п) ф 0, для всех п = 0,1
Если к тому же || д (та) ||= фІЧ, то (д (та) Ет (та))т=д ортонормирован-ный базис пространства Сл
Доказательство:
Докажем, что из утверждения 1) следует утверждение 2).
Пусть (д (п) Ет (п))~ц — полная система, тогда < / (?г), д (п) Ет (та) >= 0, для всех т = 0,1
Допустим, что утверждение 2) неверно, то есть ЗЛ7і Є (0,1
Тогда, взяв в качестве вектора / — 10,0
А, )
та отличная от нуля, получим, что для всех т — 0,1
< / (п), д (п) Ет (:п) >= 0.
Последнее противоречит тому, что система (д (п) Ет (п))1р полна. Таким образом д (п) ф 0 для всех п = 0,1
Докажем, что из утверждения 2) следует утверждение 1).
Пусть д (п) ф 0, для всех п — 0,1
< / Ы , 9 (п) Ет (п) >=< / (п) д (п), Ет (п) >= 0,
где / (п) Є С".
В силу того, что (Ет (п))~д — ортонормированный базис, то / (п) д (п) = 0 для всех п = 0,1
Так как по условию д (п) ф 0 для всех п = 0,1
Проверим, что (д (та) Ет (та))~р ортонормированный базис пространства САТ, тогда и только тогда, когда || д (та) ||= ф~ЇЇ.