Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях

• Автор: Исаев, Константин Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 173 с.

Оглавление:

Глава 1. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах

Бергмана

§1.1. Оценка интегралов по радиусу

§1.2. Эквивалентность норм для функции у

Глава 2. Безусловные базисы из экспонент в пространствах

Бергмана

§2.1. Необходимое условие базисности системы {е^}

§2.2. Распределение показателей безусловного базиса {е}

§2.3. Свойства функции Бергмана К(Х)

§2.4. Необходимое условие существования безусловного базиса

из экспонент
Глава 3. Базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на
выпуклых многоугольниках
§3.1. Свойства целых функций класса Ё2(Р)
§3.2. Теорема об интерполяции и базисы Рисса
§3.3. Конструирование целой функции класса Зв
Литература
Диссертация посвящена проблеме существования безусловных базисов Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклой плоской области. Пространством Бергмана В2(Б), где Б -область на плоскости С, называется пространство функций, аналитических в Б и интегрируемых с квадратом модуля по мере Лебега на Б. Таким образом, Въф) — это гильбертово пространство со скалярным произведением
где через т(г) обозначена плоская мера Лебега. Следуя работе [26], будем придерживаться следующего определения безусловных базисов Рисса.
Семейство {ел*г, к = 1,2,...} называется безусловным базисом Рисса в нормированном пространстве X, если
1) семейство {еХк*, к = 1,2,...} полно в пространстве X;
2) существуют положительные постоянные т, М такие, что для любой конечной последовательности ак 6 С справедлива двусторонняя оценка
*»£ 1<ч1211еА‘'|& < II< м£ м
к к к
Известно, что если система {еХк2, к = 1,2,...} образует безусловный базис Рисса в пространстве X, то любой элемент / этого пространства представляется единственным образом в виде суммы ряда по данной системе экспонент:

/(г) = £ ЛеЛ‘*.

Поэтому задача о существовании базисов Рисса относится к проблематике представления аналитических функций посредством рядов экспонент. Поскольку множество точек абсолютной сходимости ряда из экспонент необходимым образом выпукло ([33]), то естественно рассматриваются классы функций, аналитических в данной выпуклой области. Тема представления произвольных ана-ф литических в заданной выпуклой области функций посредством
рядов экспонент стала объектом пристального внимания многих математиков после появления в 1965 году работы А. Ф. Леонтьева [10], в которой было показано, что при некоторых А*, можно указать области D, в которых произвольные аналитические в замкнутой области D функции допускают разложение в ряд по системе экспонент exp(Afcz). За последующие два десятилетия А. Ф. Леонтьевым и его учениками и коллегами была создана стройная теория представления аналитических функций рядами экспонент, в которой были изучены и примыкающие вопросы - теоремы единственности, восстановление функций по коэффициентам и т.д. Результаты в этом направлении подытожены в монографиях [11], Ф [12], [13].
С начала семидесятых годов под влиянием таких работ как L. Ehrenpreis ([32]), В. A. Taylor ([36]), Р. Oliver ([34]), D. М. Schneider ([35]), В. В. Напалков ([21], [22]) в данной проблематике систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости рядов в различных топологиях счетно нормированного типа. Другими словами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локаль-

< ЗсИат2(1))8т/ВА1С'.
Отсюда следует, что
. /.ВАС т(Б) т{В)
2 — 6сНат2(£))сов{/.ВАС/2) ~ 6сПап12(.0)'
Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2.
Для всех х € (— §;0) и <р 6 [0; 27г] выполняются соотношения

-хи(х,<р) < в(х,<р) < -хи(х,ф),
/ ^ и / 24сИат4(В)
щх,ф) <1{х,ч>) < —~2Щ—щх,ср).
Если же х < то
в(х, ср) > т(В).
' ~ 4(Пат2 (Б) v >
Доказательство.
Пусть х е (— 0). Через Аз обозначим точку касания (какуюнибудь) опорной прямой Ь(<р + 7г). Пусть В, С — точки пересечения прямой Ь, проведенной параллельно опорной прямой Ь{ир) на расстоянии |а;| от нее, с границей области Через В1, С' обозначим точки пересечения с Ь(<р) прямых А2В, А2С соответственно.