Сильная факторизация и интерполяция для пространств аналитических функций

• Автор: Анисимов, Денис Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Глава 1. Вариант теоремы Гротендика и сильная факторизация операторов на подпространствах аналитических функций в решетках

§ 1.1 Определения и уточнение рассматриваемых вопросов

§ 1.2 Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в решетку ... 30 § 1.3 Оператор, действующий из подпространства аналитических функций пространства 1/°°(сЙфи) в пространство, удовлетворяющее

условию ограниченной аппроксимации

§ 1.4 Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функции в факторпространст-

§ 1.5 Вариант теоремы В для оператора, заданного на подпространтве в решетке

§ 1.6 Следствия из теоремы 3 и теорема о котипе для факторпространства X/Ха

§ 1.7 Сильная факторизация

Глава 2. Интерполяция в пространствах, связанных с двойными сингулярными интегралами
§2.1 Определения и известные результаты
§ 2.2 Формулировки теорем
§ 2.3 Доказательство теоремы 1 для левой части шкалы
§ 2.4 Доказательство теоремы 1 для правой части шкалы
§ 2.5 Доказательство теоремы
§ 2.6 Набор результатов о встречавшихся в доказательствах операторах
Литература
Актуальность темы
Найденное Ж. Бургейном в 1981 г. доказательство аналога теоремы Гротенднка для диск-алгебры дало толчок целой серии исследований пространств аналитических функций и операторов в них. Методы, разработанные для этих исследований, оказались применимы и к другим задачам. В частности, с их помощью удалось хороню понять интерполяционные свойства пространств типа Харди. * Несмотря на 25-летнюю историю, в этой тематике имеются нерешенные актуальные задачи.
Цель работы
1) Перенос па пространства типа Харди варианта теоремы Гро-тепдика, гласящего, что всякий линейный непрерывный оператор из банаховой решетки X в банахову решетку V естественным образом индуцирует оператор, действующий из Х(£2) в У(£2).
2) Доказательство варианта теоремы о сильной факторизации ц операторов для пространств типа Харди.
3) Выяснение наличия котипа 2 у факторпространства X/Х., где X решетка измеримых функций на окружности (подчиненная минимальным условиям), а Ха - соответствующее пространство типа Харди.
4) Исследование интерполяционных свойств функциональных пространств, связанных с некоторыми классическими операторами

Таким образом, у нас есть два конечных множества: IIе,... ,ІІеп в пространстве X** и /і /п в пространстве X*. Следовательно, мы можем применить принцип локальной рефлексивности (см. [24, ІІ.Е.14]), согласно которому существует оператор V : 8рап({/еі 11еп) —> X, такой, что )|Р|| < (1 + є) и /і{УІІЄі) = (Се;)(/,•), і = 1 Таким образом, оценка для выражения
(!С”=і ||СОгЦ2)1^2 приобретает вид:
(Еіі^іііг)'/2<(і+е)(Еіі^іі2)1/2,
і=1 і
где оператор IV определен на пространстве и равен VII
как этот оператор действует уже в пространство X, а оно, как 2-вогнутая решетка, обладает свойством Орлича, то верно неравенство
(£"„ 1М2)1/! < (!+£)(£”,, <
С(1 +г)||И'|| < С(1 +г)М|||£/|| < С(1 +е)2||С7||.
В силу произвольности е мы и получаем свойство Орлича для пространства X**.
Таким образом, для окончания доказательства теоремы достаточно доказать, что всякий оператор С : со —► X/ХА поднимается до оператора Щ, как указано па следующей диаграмме:
1 и I*
х/хА х**/хк1.
Здесь г - каноническое вложение, а тг - каноническое факторотоб-ражение. Рассмотрим оператор II*, действующий из пространства