О спектральном представлении операторов в банаховом пространстве

• Автор: Верник, Александр Немавич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 151 c. : ил

Глава I. О некоторых свойствах вектор-функций

§ I. Интеграл Римана-Стилтьеса

§ 2. Векторнозначные меры

§ 3. Обобщенная спектральная мера

§ 4. Теоремы Наймарка

§ 5. Гармонические вектор-функции

§ 6. Аналитические вектор-функции

Глава II. Скалярные, обобщенные скалярные и субскалярные

операторы
§ I. Скалярные операторы с вещественным спектром 48 § 2. Операторы, перестановочные с обобщенной

спектральной мерой

§ 3. Субскалярные операторы
Глава III. 0 спектральном представлении операторов
§ Г. Оснащение банахова пространства
§ 2. Оснащение и интегральные представления .... 82 § 3. Спектральное представление с несобственным
масштабным подпространством
Глава ТУ. Дифференциально-граничные операторы
§ I. Конечномерные возмущения линейных отношений 106 § 2. Спектр и резольвента возмущенного отношения 116 § 3. 0 суммируемости рядов по корневым векторам

I. Задача о спектральном разложении является одной из центральных задач теории линейных операторов.
Наиболее полный и законченный вид имеет спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.
Один из методов разложения таких операторов основан на теореме Рисса-Херглотца об интегральном представлении аналитической в полуплоскости функции (см.,напр., [2] ) и ее операторных аналогов [з.|.
Среди несамосопряженных операторов вьщеляется класс спектральных операторов,впервые введенный и изученный Н.Данфорцом и его сотрудниками. Подробный обзор современного состояния и перспектив развития теории спектральных операторов дан в третьем томе монографии Н.Данфорда и Дж.Шварца [9] . Приведенные в этом томе критерии спектральности операторов получены методами функционального исчисления. В работах американского математика Ш.Канторовича [79] изучен класс ограниченных спектральных операторов с вещественным спектром,являющихся аналогом для случая банахова пространства ограниченных самосопряженных операторов. Критерии спектральности устанавливаются в этой работе при помощи преобразования Лапласа.
Однако класс спектральных операторов недостаточно широк, чтобы охватить многие интересные с точки зрения приложений случаи. В.Э.Лянце в работе [22} развил теорию,описывающую более обширный класс операторов,нежели спектральные. Отказавшись от требования ограниченности и счетной аддитивности спектральной меры он вводит обобщенную спектральную меру. При дополнительном условии счетности для нее справедлива теорема Дорха-Макки о связи с самосопряженной мерой. Исследуется также топо-

логическая алгебра операторов,перестановочных с обобщенной спек тральной мерой,соответствующее операционное исчисление и спектральное разложение. Эти идеи находят применение в теории дифференциальных операторов,в частности,для представления опера2. Спектральными свойствами,близкими к свойствам самосопряженных операторов,обладают симметрические операторы. Эта связь обсуловлена существованием у последних самосопряженных расширений.
Теория расширений симметрических операторов подробно изучена и изложена в многочисленных работах,начиная от пионерских исследований фон Неймана [86] и кончая монографиями Н.И.Ахие-зера и Й.М.Глазмана [2] и Н.Данфорда и Дж.Шварца [9]
В фундаментальных работах М.А.Наймарка [31] , [ 32] построена общая теория самосопряженных расширений с выходом из пространства; отдельные результаты были получены различными методами А.И.Плеснером [38] и Н.И.Ахиезером [ I ]
В спектральном анализе симметрических операторов важную роль играют обобщенные резольвенты этих операторов. Формулы обобщенных резольвент в случае индексов: дефекта (1,1) впервые были установлены М.А.Наймарком [31] и другими методами -М.Г.Крейном [17] ,в случае индексов дефекта ( ГП , П1 )
же [1б] . Дальнейшее развитие теория обобщенных резольвент получила в работах А.В.Штрауса[ 56] , [ 57] ,где,в частности,получена формула,описывающая обобщенные резольвенты в случае произвольных индексов дефекта в терминах исходного пространства.
Теория расширений несамосопряженных операторов до скалярных не столь развита,если не считать той ее части,которая относится к расширениям операторов до нормальных и разработана
торов со спектральными особенностями

Л - произвольные промежутки. Обозначим
Ё(*к)

В качестве контура 'е^р^ выберем симметричный относительно действительной ОСИ прямоугольник,ПрОХОДЯЩЙ через ТОЧКИ
№) Ш =(-ш)г =
Сгр2
= (-М
Г^Ра р
При невещественном контур 'л2^г можно выбрать так,
чтобы ЦА лежало вне его. Поскольку внутренний интеграл,очевидно, не зависит от выбора контура,то по теореме 1.6
-Ж §>’ ?г(*г-1<,'»-1'т%гп£ ^ П ■**
Обозначим I часть контура / »лежащую вне полосы
|ЭтЯ|<£, Т0Гда г2п/ I
№)£(«.)-|к-«№ &
Меняя порядок интегрирования,что возможно вследствие непрерывности на П^р., .заметим,что равномерно по "Ь, £
при выбранной форме контура. Переходя к пределу под знаком интеграла Стилтьеса,получим рг

где ^5' ф £ У(Ь- характеристичеА £-{г0