Функциональные неравенства и метрические характеристики множеств

• Автор: Панасенко, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 123 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Метрические свойства идеальных пространств
§ 1. Основные классы идеальных пространств
§ 2. Верхние и нижние оценки норм в идеальных пространствах
§ 3. Непрерывность специальных вольтерровских операторов в симметричных пространствах
Глава 2. Функциональные и геометрические неравенства
§ 4. Емкости компактных множеств
§ 5. Неравенства для функций, равных 0 на границе
§ 6. Вариационная емкость проводника
§ 7. Неравенства для функций, равных нулю на подмножестве
Глава 3. Теоремы вложения для идеальных пространств
§ 8. Дифференциальные надстройки над идеальными пространствами
§ 9. Теоремы вложения для однократно дифференцируемых функций
§ 10. Теоремы вложения для I раз дифференцируемых функций
Заключение
Литература.

Введение.
Актуальность темы. В диссертации изучаются геометрические свойства идеальных пространств и функциональные неравенства типа теорем вложения. Как научное направление теория вложения классов дифференцируемых функций многих переменных возникла в работах С.Л. Соболева в связи с решением задач математической физики. Соболев определил пространства ¥р(Г2) функций, суммируемых со степенью р>1 вместе со своими
обобщенными производными до порядка I включительно, и, используя доказанные им теоремы об интегралах типа потенциала, интегральные представления функций и свойства усреднений, установил основные соотношения между этими пространствами, называемые теоремами вложения.
В последующие годы теоремы вложения С.Л. Соболева были обобщены и усилены в разных направлениях О.В. Бесовым, Э. Гальярдо, В.П. Ильиным, С.М. Никольским, Л. Ниренбергом и многими другими учеными. Отдельные этапы развития теории вложения отражены в работах [3], [4], [10], [18], [20], [32], [42], [45]—[48], [55], [64], [65], [67], [68], [70], [72], [77]-[79], [82], [85]-[97]. Большинство результатов по вложениям пространств 1Ур(П) относится к случаю, когда область О удовлетворяет условию конуса. Однако еще до работ С.Л. Соболева были известны отдельные интегральные неравенства типа теорем вложения, справедливые при весьма слабых предположениях об области (неравенства Пуанкаре, Фридрихса, лемма Реллиха). В связи с этим возникла задача описания классов областей, принадлежность к которым эквивалентна непрерывности (компактности) оператора вложения.
Для классических пространств С.Л. Соболева Ур(П) важные (в некоторых случаях — завершающие) результаты, связанные с решением данной задачи, установлены в работах В.Г. Мазья [56]-[62]. Существенную роль в его

исследованиях играют изопериметрические неравенства между объемом и р-емкостью или р-проводимостью множеств.
В последнее время значительно усилился интерес к вариационным и краевым задачам с достаточно общими (вообще говоря, нестепенными) нелинейностями [2], [19], [37], [51], [73]. Пространства Орлича-Соболева играют важную роль в теории краевых задач для уравнений в частных производных с коэффициентами нестепенного роста.
Поэтому представляется достаточно естественной и актуальной задача о распространении результатов В.Г. Мазья на пространства, возникающие из классов ¥р (О) путем замены пространства Ьр(0) пространством Орлича(или более общим образом - идеальным пространством вектор-функций). Решение этой задачи требует дальнейшего развития теории идеальных пространств, в частности, существенную роль здесь играют геометрические свойства идеальных пространств, связанные с содержательным обобщением понятий верхних и нижних р-оценок.
Цель работы. Доказательство функциональных неравенств типа теорем вложения для идеальных пространств на основе применения емкостных и геометрических характеристик замкнутых подмножеств метрических пространств.
Методика исследования. В работе используются методы теории идеальных пространств [26]—[30], [66], признаки непрерывности специальных вольтерровских операторов [8], [9], [28], [29], [70], интерполяционные конструкции [5]—[7], [24], [32], [47], геометрические неравенства
изопериметрического типа [67], [83], связывающие меру множества с его емкостными характеристиками.
Научная новизна. Основные результаты можно резюмировать следующим образом.
1) Получены теоремы вложения для нового функционального пространства, возникающего из пространства Соболева Д¥р (О) заменой класса

здесь f (s) - перестановка функции |f| в убывающем порядке [32], [42], [47], [75], [84]. Неравенство (3.2.) верно, если, например, Е - совершенное СП [37]. Оно означает, что норма ||f; К/МрЦ эквивалентна величине ||:fs‘p; Е||.
Лемма 3.3. Пусть Е=Е(1) - совершенное СП и M5+s,(I)ciE(I) (0 С||£ E/M6+Si ||<|]f; (E/Ms)/MSi E/M6+5i |],
константы с,, c2 зависят лишь от 8, 5
Доказательство. Лемма следует из оценок (3.2.) и равенства s-5-5' = s~5s“6‘. Лемма доказана.
В каждом СП F=F(0,a) непрерывен оператор растяжения г, (t>0), определённый равенством
( V xl"i °s (r.xXsH Ы
[о, s > ta.
Норма ||rt; F|| оператора растяжения есть полумультипликативная квазивогнутая функция параметра t>0 [47, с.132]. Число
p=supM = p(F)
0 называют нижним показателем растяжения СП F [12] или индексом Бойда; оно играет важную роль при изучении геометрических и интерполяционных свойств СП [47]. Как известно,
p(LM)=s„p{p>0,SÄ в частности, p(Lp)=i; эти и другие формулы для нахождения индекса Бойда р
можно найти в обзоре [12]; там же приведена соответствующая библиография.