Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса

• Автор: Журавлев, Михаил Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Основные понятия, обозначения и факты об интерполяции и ортогонализации систем целочисленных сдвигов
1.1 Преобразование Фурье, формула Пуассона и тета-функция Якобн
1.2 Интерполяция и дискретное преобразование Фурье
1.3 Фундаментальные сплайны и ортогонализация с сохранением структуры сдвигов
2 Константы Рисса и интерполяция
2.1 Константы Рисса для системы сдвигов функции Гаусса
2.2 Константы Рисса для системы сдвигов функции Лагранжа
2.3 О коэффициентах рядов, представляющих функцию Лагранжа, в зависимости от параметра и
2.4 О приближенном нахождении коэффициентов рядов, представляющих функцию Лагранжа,-при помощи дискретного преобразования Фурье
3 Ортогонализация
3.1 Ортонормализация для системы сдвигов функции Гаусса
3.2 Поточечная асимптотика образа Фурье функции Лагранжа по параметру а

3.3 Асимптотика поведения функции Лагранжа в среднеквадратичной норме
Заключение
Литература

Введение
Актуальность темы диссертации. В последнее время широко используются методы обработки данных, основанные на всплеск-преобразованиях. Термин ’’всплеск” появился в 1980-х, хотя первый всплеск был сконструирован А. Хааром еще в 1909 году [63]. Всплески позволяют анализировать функции, частотные характеристики которых изменяются во времени. Всплеск-анализ может быть охарактеризован как альтернатива классическому анализу Фурье [11]. Теория всплесков, так же как и анализ Фурье, имеет две важные части: непрерывное всплесковое преобразование и всплесковые ряды. Всплеск-ряды активно используются при сжатии данных, в том числе видео- и аудиоинформации, применяются в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе данных [22].
Всплеск-системы получаются посредством кратных сжатий и равномерных сдвигов одной фиксированной функции. Системы равномерных сдвигов функций широко используются помимо теории всплесков в таких классических областях математики, как теория функций вещественного и комплексного переменного, теория ортогональных рядов; при изучении преобразования Фурье и других интегральных преобразований, в функциональном анализе. В качестве примеров можно указать базисные сплайны ([14], [55]), дискретные ортогональные и биортогональные всплески ([22], [30]).
В последние годы большое распространение в прикладных задачах

Следовательно,

1 — 2 соз(2£)д + с?2 1 — ц2 у )
Если заменить £ на £ + я, то
соэ(£ + 7г) = — сое(4), соь &(£ + 7г) = (—1)* соэ(£),

1 + 2 соэ(£)д + д2 1 - с/2 ,ч К ’) v '
Пользуясь формулами (1.54) и (1.15), получим

0з(+ Ч) П (1 - д2«) (1 + 2д2п-1 с08(4) + д4«-2)
(1.55)
= П гг ТТТ (‘ +2 Е(-1)‘«(2”-ц‘ соЩц)
Чтобы найти коэффициенты Фурье из этой формулы, надо все внутренние ряды перемножить. Численная реализация формулы (1.55) требует серьезного предварительного анализа с целью определения количества сомножителей в бесконечном произведении и количества слагаемых в каждом из рядов для достижения требуемой точности. В дальнейшем для решения задачи интерполяции будет указан другой, существенно более простой подход.
Перейдем теперь к ортогонализации. Напомним вначале процедуру ортогонализации Грама-Шмидта.
Пусть в евклидовом пространстве дана система линейно независимых векторов ец ег,еп. Тогда ортогонализация Грама-Шмидта реализуется следующим образом [18, часть 2]: