Асимптотика и спектральные свойства некоторых марковских процессов из математической физики

• Автор: Яроцкий, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 64 с.

Оглавление
0 Введение.

0.1 Предельные теоремы для локально-неоднородного случайного

блуждания на решетке

0.2 Исследование спектра высокотемпературной глауберовой динамики для модели Изинга

1 Предельные теоремы для локально-неоднородного случайного блуждания на решетке.

1.1 Принцип инвариантности для неоднородного случайного блуждания на одномерной решетке

1.1.1 Формулировка основного результата

1.1.2 Начало доказательства теоремы 1.1. Плотность семейства Р„............... V *'•.'■'-Ц'. .;

1.1.3 Доказательство сходимости конечномерных распределений

1.1.4 Доказательство леммы 1.

1.2 Центральная предельная теорема для многомерного неоднородного блуждания
1.2.1 Формулировка результата
1.2.2 Доказательство
2 Исследование спектра высокотемпературной глауберовой динамики для модели Изинга.
2.1 Теория рассеяния для глауберовой динамики
2.1.1 Начало доказательства теоремы 2.
2.1.2 Оператор вложения J
2.1.3 Существование волнового оператора IV
2.1.4 КегУУ = Н{к] 9
2.1.5 Ортогональность Иап ИД и Даппри к ф
2.2 Термодинамический предел одночастичного пространства и кластерность Ь в двухчастичном пространстве

2.2.1 Разложения в ряды для п-частичных проекторов
2.2.2 Одночастичное подпространство в термодинамическом пределе. Доказательство теоремы 2.
2.2.3 Двухчастичное пространство. Доказательство теоремы

Глава О Введение.
Настоящая диссертация посвящена изучению марковских случайных процессов, их асимптотических распределений и спектральных свойств соответствующих полугрупп. Эта глава является вводной; параграфы 0.1 и 0.2 являются введениями к главам 1 и 2 соответственно.
В главе 1 рассматривается неоднородное случайное блуждание с дискретным временем на одномерной или многомерной решетке Z Мы предполагаем, что неоднородность локальна в том смысле, что блуждание отличается от однородного только в конечном множестве точек (в одномерном случае) или на некоторой ’’плоскости” (в многомерном). Общему обсуждению возникающих здесь вопросов и постановке задач посвящен параграф 0.1. В параграфе
1.1 для случая V доказывается теорема 1.1 - аналог известного ’’принципа инвариантности” (теоремы Донскера). Траектории случайного блуждания задают меру на пространстве непрерывных функций; мы покажем, что при надлежащем скейлинге траекторий эти меры сходятся к распределению некоторого обобщенного диффузионного процесса на прямой. В параграфе
1.2 мы рассматриваем многомерное локально-неоднородное случайное блуждание и доказываем для него центральную предельную теорему (теорема 1.3).
Глава 2 посвящена исследованию спектральных свойств высокотемпературной глауберовой динамики для модели Изинга. Во вводном параграфе 0.2 дается описание модели и ставятся задачи. В параграфе 2.1 для глауберовой динамики реализована теория рассеяния Хаага-Рюэля, служащая для описания ’’свободных ^-частичных состояний” (теорема 2.2). В параграфе 2.2 мы получаем некоторые разложения в ряды для спектральных проекторов и затем с их помощью доказываем два результата: во-первых, устанавливается скорость сходимости собственных значений глауберовой динамики в конечном объеме к непрерывному спектру и, во-вторых, доказывается кла-стерность генератора глауберовой динамики в двухчастичном пространстве (теоремы 2.3 и 2.4).
Таким образом, основные результаты диссертации сформулированы в виде пяти теорем.
По теме диссертации автором опубликованы работы [1]-[3].
Автор выражает глубокую признательность своим научным руководите-
Снова делая замену переменных, получаем:
1г(х) = СЬ/2(ж) = ^---------(1ч||ж||1 + Ьг0),

В предпоследнем равенстве мы представили интеграл в виде полусуммы исходного и в котором сделана замена в 1-4 $1 + 7г, и отбросили часть области интегрирования.
Из полученных выражений вытекает утверждение леммы.
Теперь докажем пункт б). Докажем, непример, существование предела ф+. Перепишем интеграл (1.34) в виде
Заметим, что функция (ехр{г(?} — 1)/(^Гр(б) — 1) аналитична и выражение в правой части представляет собой частичную сумму абсолютно сходящегося ряда из ее коэффициентов Фурье с неотрицательными номерами. Тогда ф+ будет полной суммой этого ряда. О
Теперь вернемся к решению уравнения (1.31) (для неоднородного блуждания ). Мы построим решение этого уравнения в виде линейной комбинации найденных выше функций ф, решающих уравнение (1.33) (для однородного блуждания ). А именно, пусть
где ж®,... , ж® - это все точки множества А, а а$ - некоторые константы. Тогда, как легко увидеть из определения А,
для некоторых констант /З3. Это выражение равно Ха в том случае, когда все Д, = 1. Постоянные /3$ линейно зависят от постоянных ав, и если мы докажем, что ядро отображения {«„} ьэ {/38} тривиально, то, пользуясь хорошо
го(ж) := аф(х — х^) + ... + акф{х — х®),
(1.35)
(Т - £)ы(х) = р5(х - ж*4) + ... + /Зк6(х - ж®)