Выпуклые множества в пространстве интегрируемых операторов, замкнутые в топологии локальной сходимости по мере

• Автор: Скворцова, Галия Шакировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 81 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ТОПОЛОГИЯ ЛОКАЛЬНОЙ СХОДИМОСТИ ПО МЕРЕ .

§1. Обозначения и предварительные сведения

§2. Базис окрестностей нуля топологии локальной сходимости по

§3. Свойства топологии локальной сходимости по мере .

Глава II. НЕКОММУТАТИВНЫЙ АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ БУХВАЛОВА-

ЛОЗАНОВСКОГО

§4. |сг|(Д1(т),К)-топология в пространстве Ь{т)

§5. Фундаменты в алгебрах фон Неймана

§6. Связь топологии локальной сходимости по мере и |сг|(1/1(т), У)-
топологии
§7. Основная теорема
Глава III. СЛАБАЯ СЕКВЕНЦИАЛЬНАЯ ПОЛНОТА ФАКТОРПРО-
СТРАНСТВ
§8. Некоммутативный аналог теоремы Годфруа
§9. Пространства, построенные по семейству проекторов
§10. Пространство аналитических интегрируемых операторов 61 §11. Пространство интегрируемых операторов, построенное по
подалгебре
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Основа одной из важнейших частей теории операторных алгебр, так называемой теории некоммутативного интегрирования, была заложена в начале 50-х годов в работах И. Сигала [56] и Ж. Диксмье [31]. В работе [56] была построена теория интегрирования относительно унитарноинвариантной меры на проекторах на полуконечной алгебре фон Неймана, то есть, фактически, относительно точного нормального полу-конечного следа на алгебре фон Неймана. Кроме того, И. Сигал осуществил вложение классической теории интегрирования на абстрактном пространстве с мерой в построенную им схему.
Теория, построенная И. Сигалом, получила дальнейшее развитие в работах разных авторов (см. например, [49], [61], [10]). Распространяя сигаловскую теорию на веса, А. Н. Шерстнев [21]-[25] создал теорию интегрирования относительно нормального полуконечного веса. Используя теорию интегрирования относительно веса, Н. В. Трунов [15]-[19] определил шкалу пространств Ьр, ассоциированных с точным состоянием на полуконечной алгебре фон Неймана. О. Е. Тихонов [11], [14] изучал пространства Ьр: ассоциированные с функционалами на алгебре фон Неймана.
Введение Сигалом понятий измеримого оператора и сходимости почти всюду на пространстве измеримых операторов стимулировало изучение новых пространств неограниченных операторов и топологий, связанных со следом на алгебре фон Неймана. В частности, С. Сан-каран [55] определяет алгебру локально измеримых операторов, при-

соединенных к алгебре фон Неймана со счетно разложимым центром, Ф. Иедон [60] распространяет это определение на более широкий класс алгебр и вводит на алгебре локально измеримых операторов топологии сходимости локально по мере и локально почти всюду. В 1959 году В. Ф. Стаинспрингом [10] была предложена топология сходимости по мере на пространстве измеримых операторов. А. П. Падманабханом в [51] доказывается некоммутативный аналог теоремы Лебега, связанный данной топологией. Свойства этой топологии изучали также Т. Фак, X. Косаки [32]. Непрерывность операторных функций в топологии сходимости по мере была исследована О. Б. Тихоновым [13]. В связи с тем что топология сходимости по мере на пространстве измеримых операторов обладает некоторыми неприятными свойствами (например, отсутствие непрерывности операции перемножения операторов, неполнота пространства), целесообразнее рассматривать топологию сходимости по мере на пространстве вполне измеримых операторов, введенном Ф. Иедоном в работе [61]. В этой же работе Ф. Иедон доказывает некоммутативный аналог теоремы Фату. Л. Циах в [29] и М.А. Муратов в [9] изучают ряд топологий в пространстве вполне измеримых операторов, которые в случае конечного следа совпадают с топологией сходимости по мере.
Таким образом, в работах указанных авторов строится ряд пространств и топологий на них, являющихся обобщением классических пространств измеримых функций и топологий, связанных с мерой. Кроме того, в пространствах измеримых операторов и пространстве интег-

известно, В{Н) неполно в слабой операторной топологии.
Предложение 3.8. Пусть М — Lсо следом
т(х) — I x(t)fi(dt).
Тогда топология локальной сходимости по мере совпадает с топологией сходимости по мере на множествах конечной меры.
Доказательство. Для каждого проектора р из М = Ьх существует такое измеримое множество S, что р является оператором умножения на характеристическую функцию множества S и т(р) = p(S). Согласно лемме 2.3 для ха, х (Е /С сеть ха-^-лх тогда и только тогда, когда сеть рхар —>• рхр по мере в АС для всех р Є V. Другими словами сеть ха-^.х тогда и только тогда, когда функции ха —¥ х по мере в АС на любом измеримом множестве S таком, что p(S) < +00.