Топологические инварианты краевых и обобщенных особенностей нелинейных операторов и их приложения

• Автор: Кунаковская, Ольга Вениаминовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 150 с.

Оглавление
Введение
1. Индексы особенностей пар сечений векторных расслоений над многообразием с краем.
1.1. Особенности пар сечений векторных расслоений.
1.2. Допустимые множества пары сечений и их свойства.
1.2.1. (±)-допустимые множества, вполне допустимые множества, допустимые сечения и допустимые пары сечений.
1.2.2. (Т-мембраны допустимых множеств и их ориентации.
1.3. Индекс пары сечений вдоль гиперповерхности.
1.4. Индексы компонент множества особенностей пары сечений.
1.5. Теоремы существования.
1.5.1. Теоремы существования особых точек пары сечений векторных расслоений над компактным многообразием с краем.
1.5.2. Теоремы существования решений нелинейных операторных уравнений. Конечномерный случай.
1.6. Применение краевых индексов для оценки числа продольных акустических волн в кристаллической среде.
2. Индексы пары нелинейных операторов в гильбертовом пространстве.
2.1. Постановка задачи об обобщенных собственных векторах нелинейных операторов в гильбертовом пространстве.
2.2. Фильтрация основного многообразия № конечномерными многообразиями с краем.
2.3. Глобальный краевой индекс пар нелинейных операторов, невырожденных на д1¥.
2.4. Локальные краевые, внутренние и обобщенные индексы пар нелиней-

ных операторов.
2.4.1. Мембраны (+)-допустимых множеств пары операторов.
2.4.2. Конструкция локального индекса.
2.4.3. Свойства локального индекса д.
2.4.4. Специализации индекса д.
2.5. Теоремы существования решений нелинейных операторных уравнений. Бесконечномерный случай.
3. Свойства гладких функций на банаховых многообразиях.
3.1. й'С'е-функции на банаховых пространствах.
3.2. 5Сг-многообразия.
3.3. 5(7г-функции на 5С"-многообразии.
Литература

ВВЕДЕНИЕ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Качественное описание свойств нелинейных отображений составляет существенную часть математического знания. Точные геометрические и топологические методы позволяют подступиться к исследованию сложных задач, для которых иные методы либо неприменимы, либо не дают результата. Наиболее естественный и часто встречающийся метод — построение топологического инварианта (или серии инвариантов) рассматриваемого нелинейного отображения, значения которого классифицируют, например, основные типы прообразов точек или множеств (или характеризуют общие черты образа окрестности точки или множества).
В рассматриваемой работе исследуется задача об обобщенных собственных векторах пары нелинейных операторов, действующих как в конечномерном, так и в бесконечномерном пространстве. К рассмотрению собственных функций нелинейных операторов в свое время привели задачи о нелинейных колебаниях, об устойчивости сжатых стержней и другие. Возникновение этой задачи обычно связывается с работами А.М. Ляпунова [30]. Задача о собственных векторах нелинейных операторов в функциональных пространствах, впервые, видимо, рассматривалась Биркгофом и Келлогом [52].
Исследованию задачи об обобщенных собственных векторах нелинейных операторов посвящены монографии [14], [24], [26]. Работы в этом направлении публиковали такие специалисты как Р.Н. Rabinovich, М. Berger, К. Uhlenbeck, S.T. Cheng, J. Ize, F. Browder, С. И. Похожаев и многие другие. В.Г. Звягин исследовал задачу о собственных векторах, вводя их индексы через вторые препятствия В.Г. Болтянского [19, 20]. Важное прикладное значение этой задачи ярко отражено в сборнике [41]. В этом направлении ведутся также активные современные исследования. Достаточно указать содержательную монографию [51], в которой приведена обширная библиография.
В настоящей работе предлагается метод исследования условий существования обобщенных собственных векторов пары нелинейных операторов, основанный на конструкции топологических индексов особенностей пары сечений

расслоения £ на 7, т.е. С"-расслоение Стинрода [39], тотальным пространством которого служит часть Е* пространства Е1 — р~1{7), состоящая из векторов длины 1 (т.е. дизъюнктная сумма Е® где Д"-1 — сфера единично-
го радиуса в слое Ех), а проекцией — сужение р щ проекции р на Е*. Тотальное Сг-многообразие Е расслоения наделяется ориентацией /г
(которая далее будет называться стандартной), определяемой выбранной ориентацией щ на 7 и ориентацией сферы ж = р(г), как края замкнутого
единичного шара В™ в слое Ех с центром в Ох и наделенного как подмногообразие в Ех коразмерности 0 ориентацией в", индуцированной ориентацией в'х Сг-многообразия Ех, которая в свою очередь индуцируется ориентацией вх на Ех как слоя ф Точнее, для любого 2 Є £* цг — [гд
здесь (ж, у) соответствует точке г при (локальной) тривиализации ф.
Для данной пары Ст-сечений (а 1,0-2) образы Еі = сгДу), £2 — ТгМ нормированных сечений а{, сг|: сг|(ж) = сд(ж)/ || сфж) ||х, ж Є 7, г
1,2, являются (гг — 1)-мерными -подмногообразиями с ориентациями соответственно сг| (77-у) и <ж|(?77) в (2п — 2)-мерном ориентированном Сг-многообразии Е*. Так как <т? : 7 —) <7/(7) - Сг-диффеоморфизм, г = 1,2, то ориентации стДг?7) определены корректно, (7і(%))<и = [Г(сф)хгц,
Определение 1.3.1. Пусть (од, од) — произвольная пара (Д-сечений векторного Ст-расслоения ранга п над М, (7,%) — <Д-гладкая ориентированная гиперповерхность в М, не пересекающаяся с множеством О (а і) и СДод). Индексом пары сечений (сгі, <т2) вдоль гиперповерхности 7 будем называть целочисленный индекс пересечения
И(аг, сг2; 7, г;т) = #((7), о-Ду), £*) Є Ъ при описанных ориентациях многообразий .Ефа-Ду), 0(7).
Замечание 1.3.1. Понятие индекса Т(сгх, <72; 7,77-у) пары сечений вдоль гиперповерхности обобщает (по двум направлениям) введенное В.И. Арнольдом в [2] понятие индекса 1-формы вдоль гиперповерхности: во-первых, наш индекс