Системы алгебраических уравнений, гипергеометрические функции и интегралы рациональных дифференциалов

• Автор: Степаненко, Виталий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 81 с.

Глава 1 О решении систем нелинейных алгебраических уравнений

§1 Формальное обобщение результатов Меллина - Антиповой

§2 Представление решений системы с помощью степенных рядов гипергеометрического типа
§3 Представление главного решения системы с помощью интеграла по кубу от.элементарной функции

§4 Системы триномиальных уравнений

Глава 2 О вычислении интегралов по К" от рациональных дробей с эллиптическими и квазиэллиптическими знаменателями

§1 Условия существования рациональной первообразной

§2 Гомогенизация и интеграл по полусфере

§3 Понижение размерности интеграла

Глава 3 Об одном комбинаторном тождестве, связанном с проблемой якобиана

§1 Формулировка тождества

§2 Доказательство тождества (3.1)
Глава 4 Описание рациональных дифференциальных форм на произведении
проективных пространств
§1 Рациональные дифференциальные формы на С" от рациональных дробей
§2 Рациональные дифференциальные формы в произведении проективных пространств

Глава 5 Вещественные торические многообразия - фундаментальные области дискретных групп
§1 Понятие торичеекого многообразия и экрана
§2 Пространство Хе как фундаментальная область группы в1
Литература
Проблема решения алгебраических уравнений интересует математиков уже более двух тысячелетий и до сих пор является актуальной.
В 1921 году Н. Меллин [35] получил формулу для решения общего алгебраического уравнения, приведя его к виду
ут + XIут' + ... + хруШр -1 = 0. (1)
Для решения у{х) — у{х 1 Хр) Меллин привел две формулы: интегральное представление в виде интеграла Меллина-Барнса, и разложение в степенной ряд, который представляется гипергеометрическим по Горну.
Идеи Меллина получили дальнейшее развитие в работах Б. Штурмфель-са [38], АЛО. Семушевой и А.К. Циха [12]. Достаточно исследовать основную ветвь у{х) вблизи х = 0 с условием у(0) = 1, все остальные решения получаются из основного по формуле
Уз(.х) = еМ£?'хи ■ • ■ >£?Рхр)’
где £_,-первообразные корни из единицы степени т (то есть г” = 1). В статье [12] изучены аналитические продолжения решения у(х) и области сходимости рядов Лорана-Пюизо для решений У]{х).
Существенно более сложной является задача нахождения решений системы алгебраических уравнений. И.А. Антипова [2], [3] получила основное решение для нижнетреугольной системы алгебраических уравнений, когда первое урав-

Хотя функции Вк — однородные, но, вообще говоря, &щВк ф к. Из уравнений (2.3) и (2.4) следует, что degBk < (2тг — 2т — 1) — п. Это означает, что разность степеней числителя и знаменателя не меньше, чем п+ 1. Тогда гомогенизация первообразной будет проективной формой.
Чтобы эффективно решать системы (2.3) и (2.4), потребуется чисто алгебраическая лемма:
Общее решение линейной системы из 2тг — 2т — 1 уравнений
71 = (-1)Л0Вг 72 = (г — 2)АуВ1 + (—2)ЛоВг 7з — (2г — 3) Л2Вх + (г — 3)Л1.£?2 + (~3)ЛоВз
7п = ((« - 1)г - п)Ап-1В1 + ((п - 2)г - п)Лп_2В2 + (-3)Л0В3 + ■ • • + +(г - п)А1Вп-1 + {-п)А0Вп
Средняя сумма берется по всем неотрицательным целочисленным разложениям
к-1= jo+jl-i 1- и к - г = ОУо + 1?1 Н Ь (А - число слагаемых
внутренней суммы равно
относительно В* имеет вид:
2тпг—2т
(2 < к < 2тг — 2т — 1).
(л + ■■■ +^-г)! _ {k-i-jo) кШ- ■ ■ ' Зк-и ■ ■■Зк-А'