Теоретико-функциональный подход к теории минимальных подмногообразий

• Автор: Ткачев, Владимир Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 216 с.

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Волгоградский Государственный Университет
На правах рукописи УДК
Ткачев Владимир Геннадьевич
ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ МИНИМАЛЬНЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ
(01.01.01. - математический анализ)
Диссертация на соискание ученой степени доктора
Волгоград 1998

Содержание
0 Введение
1 Оценки интеграла Дирихле на римановых многообразиях
1.1 Вводные определения
1.2 Определение концов многообразия
1.3 Асимптотические тракты субгармонических функций
1.4 Взвешенная фундаментальная частота и ее 1У-средние
1.5 Дифференциальное неравенство для интеграла Дирихле
1.6 Нижние оценки первого собственного значения на минимальных подмногообразиях
2 Проективный объем минимального подмногообразия
2.1 Проективный и логарифмический объемы
2.2 Взаимосвязь логарифмического и проективного объемов
2.3 Некоторые свойства проективного объема
3 Минимальные подмногообразия конечного проективного объема
3.1 Оценка числа концов минимальной поверхности
3.2 Оценки проективного объема п-мерных минимальных
графиков
3.3 Минимальные поверхности, конечнократные относительно сферы
3.4 Оценка индекса координатных функций на минималь-
• ных поверхностях

Оценка времени существования минимальных трубок
4.1 Основные определения
4.2 Трубки с ограниченной интегральной кривизной
4.3 Примеры минимальных трубок с бесконечным временем существования
4.4 Гауссово отображение многомерных трубок
p-минимальные поверхности и принцип сравнения
5.1 Определение p-минимальных поверхностей
5.2 Предварительные свойства p-минимальных поверхностей
5.3 Квазиконформность гауссова отображения
5.4 Трубчатые p-минимальные гиперповерхности
5.5 Радиус просвета p-минимальной поверхности
5.6 Теорема Иоргенсона-Калаби-Погорелова
Звездные минимальные поверхности
6.1 Целые решения уравнения звездных минимальных поверхностей
6.2 Асимптотические свойства целых решений
6.3 Строение допустимых областей
6.4 Примеры звездных минимальных поверхностей

имеет ограниченную в существенном вариацию. Другими словами,
где точная верхняя грань берется по всем гладким векторным полям X с носителем в Е таким, что |Х(0)| < 1.
Теорема 6.2. Пусть и(в) - целое решение уравнения (0.37) в
О. Тогда имеет конечный периметр С (О). Более того, справедлива оценка
В частности, периметр всегда меньше, чем объем п-мерной единичной сферы шп.
Теорема 6.3. Пусть $1 — допустимая область с гладкой границей 80,. Тогда для любого целого решения и{9) в О выполнено
Теорема 6.4. Пусть М — собственно вложенная звездная минимальная гиперповерхность, заданная над О С Бп уравнением (0.35).
где Уп(М) — проективный объем М.. I
Отсюда, применением ранее доказанных свойств проективного объема, мы получаем частичный ответ на вопрос о структуре целых решений.
Следствие 6.1. Если О совпадает с полусферой Б”, то единственными звездными минимальными поверхностями, расположенными над О являются гиперплоскости.
Другим следствием является равномерная оценка числа 1(80) компонент связности границы допустимой области
С(Е) — эир / Дім ДО(<9) сів < оо, д Е
(0.38)
(0.39)
(0.40)
Тогда
У„(М) = пДи),
(0.41)
|(Ш) < 'ШУУО